2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2016年浙江，理1，5分】已知集合{}|13P x R x =∈≤≤，{}2|4Q x R x =∈≥，则()R P Q U ð（ ）（A ）[]2,3 （B ）(]2,3- （C ）[)1,2 （D ）(][),21,-∞-+∞U【答案】B【解析】{}{}2|22|4Q x R x x R x x =∈≥=∈≥≤-或，即有{}|22R Q x R x -=<∈<ð，则()(]2,3R P Q =-U ð，故选B ． 【点评】本题考查集合的运算，主要是并集和补集的运算，考查不等式的解法，属于基础题． （2）【2016年浙江，理2，5分】已知互相垂直的平面α，β交于直线l ．若直线m ，n 满足//m α，n β⊥，则（ ）（A ）//m l （B ）//m n （C ）n l ⊥ （D ）m n ⊥ 【答案】C【解析】∵互相垂直的平面α，β交于直线l ，直线m ，n 满足//m α，∴//m β或m β⊂或m β⊥，l β⊂，∵n β⊥，∴n l ⊥，故选C ．【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． （3）【2016年浙江，理3，5分】在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则AB =（ ）（A ）22（B ）4 （C ）32 （D ）6【答案】C 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线20x y +-=上的投影构成线段R Q ''，即SAB ，而R Q RQ ''=，由3400x y x y -+=⎧⎨+=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩，即()1,1Q -，由20x x y =⎧⎨+=⎩得22x y =⎧⎨=-⎩，即()2,2R -，则()()2212129932AB QR ==--++=+=，故选C ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义以及数形结合是解决本题的关键．（4）【2016年浙江，理4，5分】命题“x ∀∈R ，n N *∃∈，使得2n x >”的否定形式是（ ）（A ）x ∀∈R ，n N *∃∈，使得2n x < （B ）x ∀∈R ，n N *∀∈，使得2n x < （C ）x ∃∈R ，n N *∃∈，使得2n x < （D ）x ∃∈R ，n N *∀∈，使得2n x < 【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“x ∀∈R ，n N *∃∈，使得2n x >”的否定形式是：x ∃∈R ，n N *∀∈，使得2n x <，故选D ．【点评】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．（5）【2016年浙江，理5，5分】设函数()2sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）（A ）与b 有关，且与c 有关 （B ）与b 有关，但与c 无关（C ）与b 无关，且与c 无关 （D ）与b 无关，但与c 有关 【答案】B【解析】∵设函数()2sin sin f x x b x c =++，∴c 是图象的纵坐标增加了c ，横坐标不变，故周期与c 无关，当0b =时，()211sin sin cos222f x x b x c x c =++=-++的最小正周期为22T ππ==，当0b ≠时，()11cos2sin 22f x x b x c =-+++，∵cos2y x =的最小正周期为π，sin y b x =的最小正周期为2π，∴()f x 的最小正周期为2π，故()f x 的最小正周期与b 有关，故选B ．【点评】本题考查了三额角函数的最小正周期，关键掌握三角函数的图象和性质，属于中档题． （6）【2016年浙江，理6，5分】如图，点列{}n A 、{}n B 分别在某锐角的两边上，且112n n n n A A A A +++=，1n n A A +≠，n N *∈，112n n n n B B B B +++=，1n n B B +≠，n N *∈，（P Q ≠表示点P 与Q 不重合）若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +∆的面积，则（ ） （A ）{}n S 是等差数列 （B ）{}2n S 是等差数列（C ）{}n d 是等差数列 （D ）{}2n d 是等差数列 【答案】A【解析】设锐角的顶点为O ，1OA a =，1OB b =，112n n n n A A A A b +++==，112n n n n B B B B d +++==，由于a ，b 不确定，则{}n d 不一定是等差数列，{}2nd 不一定是等差数列，设1n n n A B B+∆的底边1n n B B +上的高为n h ，由三角形的相似可得()111n n n n a n b h OA h OA a nb +++-==+，()22111n n n n a n bh OA h OA a nb++++++==+，两式相加可得，21222n n n h h a nb h a nb ++++==+，即有212n n n h h h +++=，由12n n S d h =⋅，可得212n n n S S S +++=， 即为211n n n n S S S S +++=--，则数列{}n S 为等差数列，故选A ．【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．（7）【2016年浙江，理7，5分】已知椭圆()2212:11x C y m m +=>与双曲线()2212:10x C y n n-=>的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则（ ） （A ）m n >且121e e > （B ）m n >且121e e < （C ）m n <且121e e > （D ）m n <且121e e < 【答案】A【解析】∵椭圆()2212:11x C y m m +=>与双曲线()2212:10x C y n n-=>的焦点重合，∴满足22211c m n =-=+，即2220m n -=>，∴22m n >，则m n >，排除C ，D ，则2221c m m -<=，2221c n n =+>，则c m <．c n >，1c e m =，2c e n =，则212c c c e e m n mn ⋅=⋅=，则()()()222222212222211m n c c c c e e m n m n m n -+⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22222222222222112111111m n m n m n m n m n m n m n+-----==+=+=+>，∴121e e >，故选A ． 【点评】本题主要考查圆锥曲线离心率的大小关系的判断，根据条件结合双曲线和椭圆离心率以及不等式的性质进行转化是解决本题的关键．考查学生的转化能力．（8）【2016年浙江，理8，5分】已知实数a ，b ，c （ ）（A ）若221a b c a b c +++++≤，则222100a b c ++<（B ）若22|1|a b c a b c ++++-≤，则222100a b c ++<（C ）若221||a b c a b c ++++-≤，则222100a b c ++<（D ）若22|1|a b c a b c ++++-≤，则222100a b c ++< 【答案】D 【解析】A ．设10a b ==，110c =-，则2201a b c a b c +++++=≤，222100a b c ++>；B ．设10a =，100b =-，0c =，则221||0a b c a b c ++++-=≤，222100a b c ++>；C ．设100a =，100b =-，0c =，则22|0|1a b c a b c ++++-=≤，222100a b c ++>，故选D ．【点评】本题主要考查命题的真假判断，由于正面证明比较复杂，故利用特殊值法进行排除是解决本题的关键．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．（9）【2016年浙江，理9，6分】若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是 ． 【答案】9【解析】抛物线的准线为1x =-，∵点M 到焦点的距离为10，∴点M 到准线1x =-的距离为10，∴点M 到y 轴的距离为9．【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题． （10）【2016年浙江，理10，6分】已知()()22cos sin 2sin 0x x A x b A ωϕ+=++>，则A = ，b = ． 【答案】2；1【解析】∵2222cos sin 21cos 2sin 212cos 2sin 212sin 214x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭，2A ∴=，1b =．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键． （11）【2016年浙江，理11，6分】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是cm 2，体积是 cm 3． 【答案】72；32【解析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm 的小正方体所构成的，则其表面积为()2224672⨯-=cm 2，其体积为34232⨯=．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力．（12）【2016年浙江，理12，4分】已知1a b >>，若5log o 2l g a b b a +=，ba ab =，则a = ，b = ．【答案】4；2【解析】设log b t a =，由1a b >>知1t >，代入5log o 2l g a b b a +=得152t t +=，即22520t t -+=，解得2t =或12t =（舍去），所以log 2b a =，即2a b =，因为b a a b =，所以2b a b b =，则22a b b ==，解得2b =，4a =．【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．（13）【2016年浙江，理13，4分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则1a = __，5S = __．【答案】1；121【解析】由1n =时，11a S =，可得2112121a S a =+=+，又24S =，即124a a +=，即有1314a +=，解得11a =；由11n n n a S S ++=-，可得131n n S S +=+，由24S =，可得334113S =⨯+=，4313140S =⨯+=，53401121S =⨯+=．【点评】本题考查数列的通项和前n 项和的关系：n=1时，a 1=S 1，n ＞1时，a n =S n ﹣S n ﹣1，考查运算能力，属于中档题．（14）【2016年浙江，理14，4分】如图，在ABC ∆中，2AB BC ==，120ABC ∠=︒．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD DA =，PB BA =，则四面体PBCD 的体积的最大值是 ．【答案】12【解析】如图，M 是AC 的中点．①当3AD t AM =<=时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AE ，3DM t =-，由ADE BDM ∆∆∽，可得 ()2131ht=-+，()231h t=-+，()()(()()22233111231,0,33263131tV t t tt--=⋅⋅-⋅⋅=⋅∈-+-+②当3AD t AM =>=时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AH ，3DM t =-，由等面积，可得1122AD BM BD AH ⋅⋅=⋅⋅，∴()21113122t t ⋅⋅=-+，∴()231h t=-+，∴()()(()()22233111231,3,233263131tV t t tt--=⋅⋅-⋅⋅=⋅∈-+-+，综上所述，(()()22331,0,23631tV t t--=⋅∈-+，令()[)2311,2m t=-+∈，则2146m V m-=⋅，∴1m =时，12max V =． 【点评】本题考查体积最大值的计算，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想，对思维能力和解题技巧有一定要求，难度大．（15）【2016年浙江，理15，5分】已知向量a r ，b r ，1a =r ，2b =r ，若对任意单位向量e r ，均有6a e b e ⋅+⋅≤r r r r，则a b ⋅r r的最大值是 ．【答案】12【解析】∵()6a b e a e b e a e b e +⋅=⋅+⋅≤⋅+⋅≤r r r r r r r r r r r ，∴()6a b e a b +⋅=+≤r r r r r ，平方得：2226a b a b ++⋅≤r r r r，即221226a b ++⋅≤r r ，则12a b ⋅≤r r ，故a b ⋅r r 的最大值是12．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）【2016年浙江，理16，14分】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=．（1）证明：2A B =；（2）若ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小．解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，于是()sin sin B A B =-．又(),0,A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-，因此A π=（舍去）或2A B =，所以，2A B =．（2）由24a S =得21sin 24a ab C =，故有1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因sin 0B ≠，得sin cos C B =．又(),0,B C π∈，所以2C B π=±．当2B C π+=时，2A π=；当2C B π-=时，4A π=．综上，2A π=或4A π=．【点评】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题． （17）【2016年浙江，理17，15分】如图，在三棱台ABC DEF -中，已知平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF FC ===，2BC =，3AC =． （1）求证：EF ⊥平面ACFD ；（2）求二面角B AD F --的余弦值． 解：（1）延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，； 所以，AC ⊥平面BCK ，因此，BF AC ⊥．又因为//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =，所以BCK ∆ 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF CK ⊥．所以BF ⊥平面ACFD ．（2）解法1：过点F 作FQ AK ⊥，连结BQ ．因为BF ⊥平面ACK ，所以BF AK ⊥，则AK ⊥平面BQF ，所以BQ AK ⊥．所以，BQF ∠是二面角B AD F --的平面角．在Rt ACK ∆中，3AC =，2CK =，得313FQ =．在Rt BQF ∆中，313FQ =，3BF =，得3cos BQF ∠=．所以，二面角B AD F --的平面角的余弦值为3． 解法2：如图，延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，则BCK ∆为等边三角形．取BC 的 中点O ，则KO BC ⊥，又平面BCFE ⊥平面ABC ，所以，KO ⊥平面ABC ．以点O 为原 点，分别以射线OB ，OK 的方向为x ，z 的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ．由题意得()1,0,0B ，()1,0,0C -，()0,0,3K ，()1,3,0A --，13,0,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，13,0,2F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．因此，()0,3,0AC =u u u r ，()1,3,3AK =u u u r，()2,3,0AB =u u u r ．设平面ACK 的法向量为()111,,m x y z =u r，平面ABK 的法向量为()222,,n x y z =r ．由0AC m AK m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u ru u u r u r ，得111130330y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取()3,0,1m =-u r ； 由00AB n AK n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r，得22222230330x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取()3,2,3n =-r ．于是，3cos ,4m n m n m n ⋅==⋅r r r r r r ． 所以，二面角B AD F --的平面角的余弦值为34． 【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．（18）【2016年浙江，理18，15分】已知3a ≥，函数(){}2min 21,242F x x x ax a =--+-，其中(),min ,,p p qp q q p q ≤⎧=⎨>⎩．（1）求使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（2）（i ）求()F x 的最小值()m a ；（ii ）求()F x 在[]0,6上的最大值()M a ．解：（1）由于3a ≥，故当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->，当1x >时，()()()22422122x ax a x x x a -+---=--．所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a ．（2）（i ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,32242,22a m a a a a ⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩． （ii ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=．所以，()348,342,4a a M a a -≤<⎧=⎨≥⎩．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．（19）【2016年浙江，理19，15分】如图，设椭圆()222:11x C y a a+=>．（1）求直线1y kx =+被椭圆截得到的弦长（用a ，k 表示）；（2）若任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．解：（1）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222120a k x a kx ++=，故10x =，222221a k x a k=-+．因此222221a k AP x a k =-=⋅+． （2）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =． 记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（1）知，AP =AQ =，故=，所以()()22222222121212120kk k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此()222212111112a a k k ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭①因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是：()22121a a +->，所以a >．因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为12a <≤，由c e a ==得，所求离心率的取值范围为0e <≤【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想以及计算能力．（20）【2016年浙江，理20，15分】设数列满足11,2n n aa n N *+-≤∈．（1）求证：()()1*122n n a a n N ≥∈﹣﹣； （2）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，*n N ∈，证明：2n a ≤，*n N ∈．解：（1）由112n n a a +-≤得1112n n a a +-≤，故111222n n n n na a ++-≤，n *∈N ， 所以31112211223122222222nn n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121111222n -≤++⋅⋅⋅+1<， 因此()1122n n a a -≥-． （2）任取n *∈N ，由（1）知，对于任意m n >，1121112122222222n m n n n n m m nmnn n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111222n n m +-≤++⋅⋅⋅+112n -<，故11222m n n n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭11132222mnn m-⎡⎤⎛⎫≤+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦3224mn⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．从而对于任意m n >，均有3224mn n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭．由m 的任意性得2n a ≤ ①否则，存在0n *∈N ，有02n a >，取正整数000342log 2n n a m ->且00m n >，则003402log 23322244n n a m m n n a -⎛⎫⎛⎫⋅<⋅=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，与①式矛盾．综上，对于任意n *∈N ，均有2n a ≤．【点评】本题考查了不等式的应用与证明，等比数列的求和公式，放缩法证明不等式，难度较大．。