2017年11月浙江省新高考学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）（2017•浙江学业考试）已知集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A ∪B=（）A．{1，3}B．{1，2，3}C．{1，3，4}D．{1，2，3，4}2．（3分）（2017•浙江学业考试）已知向量=（4，3），则||=（）A．3 B．4 C．5 D．73．（3分）（2017•浙江学业考试）设θ为锐角，sinθ=，则cosθ=（）A．B．C．D．4．（3分）（2017•浙江学业考试）log2=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．25．（3分）（2017•浙江学业考试）下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=sin6．（3分）（2017•浙江学业考试）函数y=的定义域是（）A．（﹣1，2]B．[﹣1，2]C．（﹣1，2）D．[﹣1，2）7．（3分）（2017•浙江学业考试）点（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离是（）A．B．C．1 D．8．（3分）（2017•浙江学业考试）设不等式组所表示的平面区域为M，则点（1，0），（3，2），（﹣1，1）中在M内的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．（3分）（2017•浙江学业考试）函数f（x）=x•ln|x|的图象可能是（）A．B．C．D．10．（3分）（2017•浙江学业考试）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内的所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一直线与l平行D．α内存在无数条直线与l相交11．（3分）（2017•浙江学业考试）图（1）是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥A1﹣AB1D1后的几何体，将其绕着棱DD1逆时针旋转45°，得到如图（2）的几何体的正视图为（）A．B．C．D．12．（3分）（2017•浙江学业考试）过圆x2+y2﹣2x﹣8=0的圆心，且与直线x+2y=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣y+2=0 B．x+2y﹣1=0 C．2x+y﹣2=0 D．2x﹣y﹣2=013．（3分）（2017•浙江学业考试）已知a，b是实数，则“|a|＜1且|b|＜1”是“a2+b2＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）（2017•浙江学业考试）设A，B为椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1•k2=﹣，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．15．（3分）（2017•浙江学业考试）数列{a n}的前n项和S n满足S n=a n﹣n，n∈N*，则下列为等比数列的是（）A．{a n+1}B．{a n﹣1}C．{S n+1}D．{S n﹣1}16．（3分）（2017•浙江学业考试）正实数x，y满足x+y=1，则的最小值是（）A．3+B．2+2C．5 D．17．（3分）（2017•浙江学业考试）已知1是函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的一个零点，若存在实数x0．使得f（x0）＜0．则f（x）的另一个零点可能是（）A．x0﹣3 B．x0﹣C．x0+D．x0+218．（3分）（2017•浙江学业考试）等腰直角△ABC斜边CB上一点P满足CP≤CB，将△CAP沿AP翻折至△C′AP，使二面角C′﹣AP﹣B为60°，记直线C′A，C′B，C′P 与平面APB所成角分别为α，β，γ，则（）A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β C．β＜α＜γ D．γ＜α＜β二.填空题19．（6分）（2017•浙江学业考试）设数列{a n}的前n项和为S n，若a n=2n﹣1，n ∈N*，则a1=，S3=．20．（3分）（2017•浙江学业考试）双曲线﹣=1的渐近线方程是．21．（3分）（2017•浙江学业考试）若不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R，则实数a的取值范围是．22．（3分）（2017•浙江学业考试）正四面体A﹣BCD的棱长为2，空间动点P满足||=2，则的取值范围是．三.解答题23．（10分）（2017•浙江学业考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA=．（1）求角A的大小；（2）若b=2，c=3，求a的值；（3）求2sinB+cos（）的最大值．24．（10分）（2017•浙江学业考试）如图，抛物线x2=y与直线y=1交于M，N两点，Q为该抛物线上异于M，N的任意一点，直线MQ与x轴、y轴分别交于点A，B，直线NQ与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）求M，N两点的坐标；（2）证明：B，D两点关于原点O的对称；（3）设△QBD，△QCA的面积分别为S1，S2，若点Q在直线y=1的下方，求S2﹣S1的最小值．25．（11分）（2017•浙江学业考试）已知函数g（x）=﹣t•2x+1﹣3x+1，h（x）=t•2x ﹣3x，其中x，t∈R．（1）求g（2）﹣h（2）的值（用t表示）；（2）定义[1，+∞）上的函数f（x）如下：f（x）=（k∈N*）．若f（x）在[1，m）上是减函数，当实数m取最大值时，求t的取值范围．2017年11月浙江省新高考学业水平考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）（2017•浙江学业考试）已知集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A ∪B=（）A．{1，3}B．{1，2，3}C．{1，3，4}D．{1，2，3，4}【分析】根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B={1，2，3，4}．故选：D．【点评】本题考查了并集的定义与运算问题，是基础题．2．（3分）（2017•浙江学业考试）已知向量=（4，3），则||=（）A．3 B．4 C．5 D．7【分析】根据平面向量的模长公式计算可得．【解答】解：因为向量=（4，3），则||==5；故选C．【点评】本题考查了平面向量的模长计算；属于基础题．3．（3分）（2017•浙江学业考试）设θ为锐角，sinθ=，则cosθ=（）A．B．C．D．【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得cosθ的值．【解答】解：∵θ为锐角，sinθ=，则cosθ==，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．4．（3分）（2017•浙江学业考试）log2=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：log2=log21﹣log24=﹣2．故选：A．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．5．（3分）（2017•浙江学业考试）下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=sin【分析】求出函数的周期，即可判断选项．【解答】解：y=sinx，y=cosx的周期是2π，y=sin的周期是4π，y=tanx的周期是π；故选：C．【点评】本题考查三角函数的周期的求法，是基础题．6．（3分）（2017•浙江学业考试）函数y=的定义域是（）A．（﹣1，2]B．[﹣1，2]C．（﹣1，2）D．[﹣1，2）【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]，故选：A．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．7．（3分）（2017•浙江学业考试）点（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离是（）A．B．C．1 D．【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离d==．故选：A．【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（3分）（2017•浙江学业考试）设不等式组所表示的平面区域为M，则点（1，0），（3，2），（﹣1，1）中在M内的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】验证点的坐标是否满足不等式组，即可得到结果．【解答】解：不等式组所表示的平面区域为M，点（1，0），代入不等式组，不等式组成立，所以（1，0），在平面区域M内．点（3，2），代入不等式组，不等式组不成立，所以（3，2），不在平面区域M 内．点（﹣1，1），代入不等式组，不等式组不成立，所以（﹣1，1），不在平面区域M内．故选：B．【点评】本题考查线性规划的应用，点的坐标与可行域的关系，是基础题．9．（3分）（2017•浙江学业考试）函数f（x）=x•ln|x|的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可．【解答】解：函数f（x）=x•ln|x|是奇函数，排除选项A，C；当x=时，y=，对应点在x轴下方，排除B；故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法．10．（3分）（2017•浙江学业考试）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内的所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一直线与l平行D．α内存在无数条直线与l相交【分析】根据线面相交得出结论．【解答】解：由题意可知直线l与平面α只有1个交点，设l∩α=A，则α内所有过A点的直线与l都相交，故选D．【点评】本题考查了空间线面位置关系，属于基础题．11．（3分）（2017•浙江学业考试）图（1）是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥A1﹣AB1D1后的几何体，将其绕着棱DD1逆时针旋转45°，得到如图（2）的几何体的正视图为（）A．B．C．D．【分析】正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，结合三视图的作法，即可判断出其正视图．【解答】解：由题意可知几何体正视图的轮廓是长方形，底面对角线DB在正视图的长为，棱CC1在正视图中的投影为虚线，D1A，B1A在正视图中为实线；故该几何体的正视图为B．故选：B【点评】本题考查三视图与几何体的关系，从正视图的定义可以判断出题中的正视图，同时要注意能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．12．（3分）（2017•浙江学业考试）过圆x2+y2﹣2x﹣8=0的圆心，且与直线x+2y=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣y+2=0 B．x+2y﹣1=0 C．2x+y﹣2=0 D．2x﹣y﹣2=0【分析】求出圆心坐标和直线斜率，利用点斜式方程得出直线方程．【解答】解：圆的圆心为（1，0），直线x+2y=0的斜率为﹣，∴所求直线的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．故选D．【点评】本题考查了直线方程，属于基础题．13．（3分）（2017•浙江学业考试）已知a，b是实数，则“|a|＜1且|b|＜1”是“a2+b2＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：“|a|＜1且|b|＜1”，不一定能推出“a2+b2＜1，例如a=b=0.8，即充分性不成立，若a2+b2＜1一定能推出a|＜1且|b|＜1，即必要性成立，故“|a|＜1且|b|＜1”是“a2+b2＜1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．14．（3分）（2017•浙江学业考试）设A，B为椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1•k2=﹣，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），设P（x0，y0），由题意可得ab的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得．【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），设P（x0，y0），则由P在椭圆上可得y02=•b2，①∵直线AP与BP的斜率之积为﹣，∴=﹣，②把①代入②化简可得=，∴=，∴离心率e=．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，属中档题．15．（3分）（2017•浙江学业考试）数列{a n}的前n项和S n满足S n=a n﹣n，n∈N*，则下列为等比数列的是（）A．{a n+1}B．{a n﹣1}C．{S n+1}D．{S n﹣1}【分析】根据题意，将S n=a n﹣n作为①式，由此可得S n﹣1=a n﹣1﹣n+1，②，将两式相减，变形可得a n=3a n﹣1+2，③，进而分析可得a n+1=3（a n﹣1+1），结合等比数列的定义分析即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足S n=a n﹣n，①，则有S n=a n﹣1﹣n+1，②，﹣1①﹣②可得：S n﹣S n﹣1=（a n﹣a n﹣1）﹣1，即a n=3a n﹣1+2，③对③变形可得：a n+1=3（a n﹣1+1），即数列{a n+1}为等比数列，故选：A．【点评】本题考查数列的递推公式以及等比数列的判定，关键是求出数列{a n}的通项公式．16．（3分）（2017•浙江学业考试）正实数x，y满足x+y=1，则的最小值是（）A．3+B．2+2C．5 D．【分析】利用“1”的代换，然后利用基本不等式求解即可．【解答】解：正实数x，y满足x+y=1，则==2+≥2+2=2．当且仅当x==2﹣时取等号．故选：B．【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．17．（3分）（2017•浙江学业考试）已知1是函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的一个零点，若存在实数x0．使得f（x0）＜0．则f（x）的另一个零点可能是（）A．x0﹣3 B．x0﹣C．x0+D．x0+2【分析】由题意可得a＞b＞c，则a＞0，c＜0，且|a|＞|b|，得，然后分类分析得答案．【解答】解：∵1是函数f（x）=ax2+bx+c的一个零点，∴a+b+c=0，∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，且|a|＞|b|，得，函数f（x）=ax2+bx+c的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x=﹣，则＜＜，画出函数大致图象如图：当0≤，函数的另一零点x1∈[﹣1，0），x0∈（﹣1，1），则x0﹣3∈（﹣4，﹣2），∈（，），∈（，），x0+2∈（1，3）；当﹣＜＜0，函数的另一零点x1∈（﹣2，﹣1），x0∈（﹣2，1），则x0﹣3∈（﹣5，﹣2），∈（，），∈（﹣，），x0+2∈（0，3）．综上，f（x）的另一个零点可能是．故选：B．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合的解题思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．18．（3分）（2017•浙江学业考试）等腰直角△ABC斜边CB上一点P满足CP≤CB，将△CAP沿AP翻折至△C′AP，使二面角C′﹣AP﹣B为60°，记直线C′A，C′B，C′P 与平面APB所成角分别为α，β，γ，则（）A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β C．β＜α＜γ D．γ＜α＜β【分析】建立坐标系，找出C′在平面ABC上的射影N，判断N到A，B，P三点的距离大小得出结论．【解答】解：以A为原点建立平面直角坐标系如图所示：过C作CM⊥AP，垂足为H，使得CH=MH，设MH的中点为N，∵二面角C′﹣AP﹣B为60°，∴C′在平面ABC上的射影为N．连接NP，NA，NB．显然NP＜NA．设AC=AB=1，则CH=sin∠PAC，∴CN=CH=sin∠PAC，∴N到直线AC的距离d=CN•sin∠ACN＜sin∠PAC，∵CP≤，∴sin∠PAC≤．∴d＜，即N在直线y=下方，∴NA＜NB．设C′到平面ABC的距离为h，则tanα=，tanβ=，tanγ=，∵NP＜NA＜NB，∴tanγ＞tanα＞tanβ，即γ＞α＞β．故选C．【点评】本题考查了空间角的大小比较，属于中档题．二.填空题19．（6分）（2017•浙江学业考试）设数列{a n}的前n项和为S n，若a n=2n﹣1，n∈N*，则a1=1，S3=9．【分析】由a n=2n﹣1，n∈N*，依次求出数列的前3项，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，a n=2n﹣1，n∈N*，∴a1=2×1﹣1=1，a2=2×2﹣1=3，a3=2×3﹣1=5，∴S3=1+3+5=9．故答案为：1，9．【点评】本题考查数列的首项和前3项和的求法，考查数列的通项公式、前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20．（3分）（2017•浙江学业考试）双曲线﹣=1的渐近线方程是．【分析】根据双曲线的渐近线方程即可得到结论．【解答】解：∵双曲线的方程﹣=1，∴a2=9，b2=16，即a=3，b=4，则双曲线的渐近线方程为，故答案为：．【点评】本题主要考查双曲线渐近线的判断，根据双曲线的方程确定a，b是解决本题的关键．比较基础．21．（3分）（2017•浙江学业考试）若不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[0．+∞）．【分析】令f（x）=|2x﹣a|+|x+1|，由不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R可得：f（）≥1，且f（﹣1）≥1，进而得到答案．【解答】解：令f（x）=|2x﹣a|+|x+1|，∵不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R，∴f（）≥1，且f（﹣1）≥1，∴|+1|≥1，且|﹣2﹣a|≥1，∴a≤﹣4或a≥0．即实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣4]∪[0．+∞）故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[0．+∞）【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，难度中档．22．（3分）（2017•浙江学业考试）正四面体A﹣BCD的棱长为2，空间动点P满足||=2，则的取值范围是[0，4] ．【分析】建立空间中坐标系，设P（x，y，z），求出关于x，y，z的表达式，根据||=2得出x，y，z的范围，利用简单线性规划得出答案．【解答】解：设BC的中点为M，则||=|2|=2，∴||=1，即P在以M为球心，以1为半径的球面上．以M为原点建立如图所示的空间坐标系如图所示：则A（，0，），D（，0，0），设P（x，y，z），则=（x﹣，y，z﹣），=（，0，﹣），∴=x﹣z+2，∵P在以M为球心，以1为半径的球面上，∴x2+y2+z2=1，∵0≤y2≤1，0≤x2+z2≤1．令x﹣z+2=m，则直线x﹣z+2﹣m=0与单位圆x2+z2=1相切时，截距取得最值，令=1，解得m=0或m=4．∴的取值范围是[0，4]．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．三.解答题23．（10分）（2017•浙江学业考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA=．（1）求角A的大小；（2）若b=2，c=3，求a的值；（3）求2sinB+cos（）的最大值．【分析】（1）根据cosA=，求得A的值．（2）由题意利用余弦定理，求得a的值．（3）利用两角和差的三角公式化简解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得2sinB+cos（）的最大值．【解答】解：（1）△ABC中，∵cosA=，∴A=．（2）若b=2，c=3，则a===．（3）2sinB+cos（）=2sinB+cosB﹣sinB=sinB+cosB=sin（B+），∵B∈（0，），∴B+∈（，），故当B+=时，2sinB+cos（）取得最大值为．【点评】本题主要考查根据三角函数的值求角，余弦定理，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．24．（10分）（2017•浙江学业考试）如图，抛物线x2=y与直线y=1交于M，N两点，Q为该抛物线上异于M，N的任意一点，直线MQ与x轴、y轴分别交于点A，B，直线NQ与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）求M，N两点的坐标；（2）证明：B，D两点关于原点O的对称；（3）设△QBD，△QCA的面积分别为S1，S2，若点Q在直线y=1的下方，求S2﹣S1的最小值．【分析】（1）由得M，N两点的坐标为M（﹣1，1），N（1，1）（2）设点Q的坐标为（），得点B坐标为（0，x0），点D坐标为（0，﹣x0），可得B，D两点关于原点O的对称．（3）由（2）得|BD|=2|x0|，S1=|BD||x0|=x02．在直线MQ的方程中令y=0，得点A坐标为（，0），在直线NQ的方程中令y=0，得点C坐标为（，0），S2═|AC||x02|=，令t=1﹣x02，t∈（0，1]，则S2﹣S1=2t+﹣3≥2﹣3即可．【解答】解：（1）由得或∴M，N两点的坐标为M（﹣1，1），N（1，1）（2）设点Q的坐标为（），直线MQ的方程为：y=（x0﹣1）（x+1）+1，令x=0，得点B坐标为（0，x0），直线NQ的方程为：y=（（x0+1）（x﹣1）+1，令x=0，得点D坐标为（0，﹣x0），∴B，D两点关于原点O的对称．（3）由（2）得|BD|=2|x0|，S1=|BD||x0|=x02．在直线MQ的方程中令y=0，得点A坐标为（，0），在直线NQ的方程中令y=0，得点C坐标为（，0），∴|AC|=||=，S2═|AC||x02|=∴令t=1﹣x02，﹣1＜x0＜1，可得t∈（0，1]则S2﹣S1=2t+﹣3≥2﹣3当且仅当t=时，即时取等号．综上所述，S2﹣S1的最小值为2﹣3．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题．25．（11分）（2017•浙江学业考试）已知函数g（x）=﹣t•2x+1﹣3x+1，h（x）=t•2x ﹣3x，其中x，t∈R．（1）求g（2）﹣h（2）的值（用t表示）；（2）定义[1，+∞）上的函数f（x）如下：f（x）=（k∈N*）．若f（x）在[1，m）上是减函数，当实数m取最大值时，求t的取值范围．【分析】（1）直接代数计算；（2）根据g（2）≥h（2），h（3）≥g（3）求出t的范围，判断g（4）与h（4）的大小关系即可得出m的最大值，判断g（x）和h（x）的单调性得出t的范围．【解答】解：（1）g（2）﹣h（2）=﹣8t﹣27﹣（4t﹣9）=﹣12t﹣18．（2）∵f（x）是[1，m）上的减函数，∴g（2）≥h（2），h（3）≥g（3），g（4）≥h（4），∴，解得﹣≤t≤﹣，而g（4）﹣h（4）=﹣48t﹣162=﹣48（t+4）＜0，∴g（4）＜h（4），与g（4）≥h（4）矛盾，∴m≤4．当﹣≤t≤﹣时，显然h（x）在[2，3）上为减函数，故只需令g（x）在[1，2）和[3，4）上为减函数即可．设1≤x1＜x2，则g（x1）﹣g（x2）=2[t+（）]﹣2[t+（）]，∵（）+t＞t+（）+t≥0，2＞2＞0，∴2[t+（）]＞2[t+（）]，即g（x1）＞g（x2），∴当﹣≤t≤﹣时，g（x）在[1，+∞）上单调递减，符合题意．综上，m的最大值为4，此时t的范围是[﹣，﹣]．【点评】本题考查了分段函数的单调性，属于中档题．。