考点跟踪突破1 实数及其运算
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(2014·宁波)下列各数中，既不是正数也不是负数的是( A )
A ．0
B ．－1 C.3 D ．2
2．(2014·湘潭)下列各数中是无理数的是( A ) A. 2 B ．－2 C ．0 D.13
3．(2014·舟山)2013年12月15日，我国“玉兔号”月球车顺利抵达月球表面．月球离地球平均距离是384 400 000米，数据384 400 000用科学记数法表示为( A )
A ．3.844×108
B ．3.844×107
C ．3.844×106
D ．38.44×106
4．(2014·新疆)下表是四个城市今年二月份某一天的平均气温：
A ．阿勒泰
B ．喀什
C ．吐鲁番
D ．乌鲁木齐
5．(2014·宁波)杨梅开始采摘啦！每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这4筐杨梅的总质量是( C )
A ．19.7千克
B ．19.9千克
C ．20.1千克
D ．20.3千克
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．(2014·碑林区模拟)计算3tan30°－|1－2|2＝27．(2014·河北)若实数m ，n 满足|m －2|＋(n －2014)2＝0，则m －1＋n 0＝__32
__． 8．(2014·铁一中模拟)用科学计算器计算：847－5sin 20°＝__53.1__．(结果精确到0.1)
9．(2014·娄底)按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为__55__．
10．(2014·白银)观察下列各式：
13＝12
13＋23＝32
13＋23＋33＝62
13＋23＋33＋43＝102
…
猜想13＋23＋33＋…＋103＝__552__．
三、解答题(共40分)
11．(6分)计算：
(1)(2014·成都)9－4sin30°＋(2014－π)0－22；解：原式＝－2
(2)(2014·梅州)(π－1)0＋|2－2|－(1
3)
－1＋8.解：原式＝1＋2－2－3＋22＝ 2
12．(8分)(2012·广东)定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如2不能表示为两个互质的整数的商，所以2是无理数．
可以这样证明：设2＝a
b，a与b是互质的两个整数，且b≠0.
则2＝a2
b2，a
2＝2b2.因为2b2是偶数，所以a2是偶数，则a是不为0的偶数．设a＝2n(n 是整数)，所以b2＝2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾．所以2是无理数．仔细阅读上文，然后请证明：5是无理数．
证明：设5＝a
b，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则5＝
a2
b2，a
2＝5b2.因为5b2是5
的倍数，所以a2是5的倍数，所以，a不为0且为5的倍数．设a＝5n(n是整数)，所以b2＝5n2，所以b也为5的倍数，与a，b是互质的整数矛盾．所以5是无理数
13．(8分)在数1，2，3，…，2014前添符号“＋”和“－”，并依次运算，所得结果可能的最小非负数是多少？
解：因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，2014之前任意添加符号“＋”或“－”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，2014中有2014÷2个奇数，即有1007个奇数，所以任意添加符号“＋”或“－”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1.现考虑在自然数n，n＋1，n＋2，n＋3之间添加符号“＋”或“－”，显然n－(n＋1)－(n＋2)＋(n＋3)＝0.这启发我们：将1，2，3，…，2014每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1－2－3＋4)＋(5－6－7＋8)＋…＋(2009－2010－2011＋2012)－2013＋2014＝1.所以，所求最小非负数是1
14．(8分)(2014·安徽)观察下列关于自然数的等式：
(1)32－4×12＝5①
(2)52－4×22＝9②
(3)72－4×32＝13③
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：92－4×( 4 )2＝( 17 )；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．
解：(2)第n个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1.∵左边＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1＝右边，∴第n个等式成立
15．(10分)已知数14的小数部分是b，求b4＋12b3＋37b2＋6b－20的值．
解：分析：因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这种涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．
解：因为9＜14＜16，即3＜14＜4，所以14的整数部分为3.则依题意得14＝3＋b，两边平方得14＝9＋6b＋b2，所以b2＋6b＝5.b4＋12b3＋37b2＋6b－20＝(b4＋2·6b3＋36b2)＋(b2＋6b)－20＝(b2＋6b)2＋(b2＋6b)－20＝52＋5－20＝10。