1 s
三、单位斜坡函数
0 t<0 r (t ) t t≥0 r (t ) 的拉氏变换
L[r (t )] t e dt
st 0
r (t )
f (t )
o
图2-2-3 单位斜坡函数
t
1 st 1 st (te ) e dt s s 0 0
（令t a 则） f ( )
0 s ( a )

a
e
as

0
d 0 f ( )e e d as f ( )e s d
sa s

e F (s)
eas 。 这个性质表明， f (t a)的象函数F (s)等于f (t )的象函数乘以指数因子
2 L[ f (t )] s F (s)
L[ f ( n) (t )] s n F (s)
7 积分性质
若 则
L[ f (t )] F (s)
L[

0
F ( s) f ( 1) (0) f (t )dt] s s
其中 f
推论：
(-1)
(0) f (t )dt
d n f (t ) n n 1 n2 L[ ] s F ( s ) s f ( 0 ) s f (0) f n dt
( n 1)
2
(0)
当 f (0) f (0) f (0) f ( n1) (0) 0
L[ f (t )] sF (s)
第一节 拉氏变换的定义
一、拉氏变换定义 对时间函数f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)]（简称拉氏变换） 或F(s)定义为 （2-1-1） 式中，s为复数，s=σ+ ј ω， f(t)称为原函数， F（s）为象函数。习惯 上以小写字母表示原函数，以其对应的大写字母表示象函数。 二、函数进行拉氏变换的条件 一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： 在t<0时， f (t ) 0 ； 在t≥0的任一有限区间内，f(t)是分段连续的；
n
当n=0和n=1时的 特例。
第三节 拉氏变换的性质
一、线性性质 L[ f (t )] F (s) ，a和b为常数，则 若有L[ f1 (t )] F1 (s) ， L[af1 (t ) bf2 (t )] aF1 (s) bF2 (s)
2 2
这个性质表明，各函数线性组合的拉氏变换 等于各个函数拉氏变换的线性组合，利用 拉氏变换的定义直接可以证明上式。
t 0
L[
t
0
1 f ( )d ] F ( s) s
若L[ f (t )] F (s), 初始条件为零时，有
st
二、单位阶跃函数u(t)
0 u (t ) 1
u(t)的拉氏变换
t<0 t≥ 0
（2-2-3）
f (t )
L[u (t )]


0
u (t ) e st dt
0
1


0
1 st e dt e s
st
o
t
图2-2-2 单位阶跃函数
1 (0 1) s


0
sin t e
st
1 ( s j )t ( s j ) t e dt e dt dt 0 2 j 0
注
1 jt jt sin t j (e e ) 2
六、余弦函数 cos t （t≥0，为实数 ）
L[cost ]
0
1 ( s j ) t dt e ( s j )t dt coste dt e 0 2 0
st
1 e ( s j )t e ( s j )t 2 s j 0 s ) 1
t<0
t≥0
的拉氏变换
as L [ f ( t a )] e F ( s) 得 解：由式
L[u (t )] e
s
1 s
三、周期函数的拉氏变换
若函数 f (t )是以T周期的周期函数，即 f (t T ) 则有 st L[ f (t )] f (t )e dt
0
L[ f (t )] F (s) f (t ) est dt



0
f (t )e st dt 。
在工程实践中，上述条件通常是容易实现的。
第二节 典型函数的拉氏变换
• 正像掌握微积分时必须熟记典型函数的微积 分运算一样，要掌握拉氏变换，必须熟悉几 个典型函数的拉氏变换。
0
f (t ) ，
f (t )e dt
st 0
T

2T
T
f (t )e dt
st

( n 1)T
nT
f (t )e st dt

n 0

( n 1)T
nT
f (t )e st dt
t1 0时， t nT 令t t1 nT，即dt dt1 ,
引言
•
研究与分析一个系统的动态特性， 或对系统进行控制，不仅要定性的了 解系统的工作原理，而且要定量的描 述系统的动态性能，揭示系统的结构、 参数与动态性能之间的关系。这就要 建立系统的数学模型。
•
微分方程式是描述线性系统运动的一 种基本形式的数学模型。通过对它求解， 就可以得到系统在给定输入信号作用下的 输出响应。然而，用微分方程式表示系统 的数学模型在实际应用中一般会遇到如下 的困难: • 1) 微分方程式的阶次一高，求解就有难度， 且计算的工作量也大。
a
六、微分性质
若L[ f (t )] F (s)则
d L[ f (t )] sF ( s) f (0) dt d d 证： L[ f (t )] [ f (t )]e st dt 0 dt dt
e df (t )
st 0

e
st
f (t ) s f (t )e dt
和单位斜坡函数
L[t ]
n
n u 0
1
s
n 1


0
u e du
n
r (t ) 分别是幂函数
因为 u e du (n 1), 所以
t (n 1)
n
当n是非负整数时， (n 1) n！，则 n！ n L[t ] n 1 s
( n 1) L[t ] s n 1
st 0 0


sF (s) f (0)
这个性质表明函数 f (t ) 求导后的拉氏变换等于f (t ) 的象函数F ( s)乘 以复参量 s，再减去这个函数的初值。
推广 若 L[ f (t )] F (s) 则
d L[ f (t )] sF ( s) f (0) dt
d L[ 2 f (t )] s 2 F ( S ) sf (0) f (0) dt
L[ f (t a)] e

as
F ( s)
st
f (t a)为延时时间 a的函数f (t ), 当t a即t a 0时，f (t ) 0

0
证：L[ f (t a)] f (t a)e dt f (t a)es[(t a )a ]d (t a)
s 2 2 s
注
1 jt j t cos t (e e ) 2
n 1且为整数） 七、幂函数 t (t≥0， L[t ] t e dt 单位阶跃函数 u(t )
n n st
n
令u st , t
u du , dt , s s
0
代入上式得
u
T n 0 0 s ( t1 nT )
dt1
f (t1 nT ) f (t1 )
e
n 0

snT
1 sT 1 e
四、复数域的位移定理
若L[ f (t )] F (s), 对任一常数 a（实数或复数），有
L[e
at
f (t )] F (s a)
• 2) 对于控制系统的分析，不仅要了解 它在给定信号作用下的输出响应，而 且更要重视系统的结构、参数与其性 能间的关系。对于后者的要求，显然 用微分方程式去描述是难于实现的。
拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是分析 研究线性动态系统的有力数学工具。通过拉 氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代 数方程，这不仅运算方便，也使系统的分析 大为简化。在控制工程中,使用拉氏变换的主 要目的是用它来研究系统动态特性,因为描述 系统动态特性的传递函数和频率特性都是建 立在拉氏变换的基础之上的。
例3-1 求 L[sin t cost ]
1 L[sin t cos t ] 2
L[sin 2t ]
2t
1 2 s 4
3
例3-2 求
2t
L[1 e cos3t t (t )]
3
1 1 s 6 L[1 e cos 3t t (t )] 2 4 1 s s2 s 9 s
1 s L[ f (at )] F ( ) a a
证：L[ f (at)] f (at)est dt
0

（令at )

0
1 s 1 a f ( )e d F ( ) a 0 a a
1 f ( )e d a s
s a

这个性质表明如果函数 f (t )的自变量t扩展 a 倍，则 f (at) 的 象函数等于f (t ) 的象函数 F ( s) 在复数域上压缩 a 倍，即乘 以常数 1 。