中只有部分变 量要求取整数 ，则称 为混合整数规划 。而在某 些 线 性 规 划 问题 中 ，变 量 只 有 取 整 数 值 才 有 意 义 ， 这 时 约 束 条 件 时还 需添 上 变 量 取 整 数 值 的 ห้องสมุดไป่ตู้ 制 。这 就 是 纯 整 数 线 性 规 划 问题 （ 以下 简 称 整 数 规 划 ） 。
【 摘 要 】归纳总结 了整数规划 的基本知识和基本模 型 ，并探讨 了整数规 划在 ２ ０ ０ ９年全 国大学生数学建模竞赛 中的应 用，
对整数规 划在数 学建模 中如何应 用提供 了参考 。
【 关键词 】整数规划 ；Ｏ １ － 整数规划 ；数 学建模竞赛 ；Ｌｎ ｏ软件 ｉｇ 【 中图分类号 】Ｔ ３ １ Ｐ０． ６ 【 文献标识码 】Ａ
ａＩ ｌ＋ ａｌｘ２＋ … ＋ ａｌ ｌ ２ ａ２ ｌ＋ ａ２ ｘ２＋ … ＋ ａ２ ｌ ２
ｂ １ ｂ２
３ 模型建立 的一般步骤 ．
（ ）研 究 和 明确 问题 的要 求 和 条 件 ； １
该 模 型 直 接 利 用 Ｌ ｎ ｏ软 件 可 求 出最 优 解 。 ｉｇ
（ ）会议 筹备 模型 （ ９年数 学建 模竞 赛 Ｃ题 ） 三 ０
，
以 及投
资矩 阵 Ａ ＝ （ ） ， 中 ｎ 示 第 ｆ年 项 目 ， 所 需投 入 的 口 … 其 表 金额 。利润矩阵 ｃ ＝（ 。ｃ ， ， ｃ， ： … ｃ ），ｃ 为 ，项 目的利 润 。
２１ ０ ０年 第 ５期 （ 第 １ ９期 ） 总 ２
大 众 科 技
ＤＡ ＺＨＯＮＧ ＫＥ Ｊ
Ｎｏ． ２０ ０ ５， １
（ ｍｕａｉ ｌ Ｎ ．２ ） Ｃｕ ｌｔ ｅｙ ｏ１ ９ ｖ
整数 规 划 在 数 学建 模 中 的应 用
林 秋 红 （ 肇庆科技职业技 术学院 ，广 东 肇 庆 ５ ６２ ２ ０ ０）
案。
２ 整数规划 问题 的特 征 ．
（ ）每 一 个 问题 都 可 以用 一 组 未 知 数 （ １
…
，
，
．
） 示 表
（ ）模 型 的 建 立 ２ 设ｘ 表 示 按 方 案 截 取 用 的原 材 料 的数 目， 是 可 以 于
＋
某一个 方案 ，这组未知数的一组定值就代表一个具体 的方案．
定 义 ４ ０ １整数 规划 ： 是 整 数 规 划 的 一 种特 殊 情 形 ， ～ 决 策 变 量 只 能 取 ０ １ 或 。
求 用 的 原 材料 最 少 的 方 案 。 （ ） 问题 分 析 １
下料 问题 就是在满足要求： 截取长度为 ｆ’： … ， 的钢 ｌ， ， ，
材 数 分 别 为 ｂ ， ２ … ， 根 时 ，用 的 原 材 料 根 数 最 少 的 方 ｂ ， ｂ
据 资料； （ ）列 出所 有 约 束 条 件 的线 性 表 达 式 ； ５
【 文章编号 】１０ — １ １ ０００ — ０ １ ０ ０ ８ １５ （ １）５ ０ ２ — ２ ２
整数规划模 型是数学建模竞赛 中经典的数学模 型 ，如何 利用 Ｌ ｎ ｏ软件和整数规划模型求解最优解是参加数学建模 ｉｇ 竞赛必须 掌握 的建模知识 。下面 就整数规划 的基本 知识、基 本模型 以及在 ２ ０ ０９年高教社杯全国大学生数学建模竞赛 中的
应用进行阐述 。
（ ）列 出 目标 函数 的数学表达式 。 ６ ４ 模型 的求解 ． 般 整数规划模 型可 以采用分 支界定法 、割平 面法、匈 牙 利 法 等 方 法 来 求 解 ， 在 数 学 建 模 竞 赛 中 经 常 利 用 数 学 软 件
一
（ ）基本 知 识 一
１基本概念 ．
（ ）设 定 决 策 变 量 ； ２ （ ） 定衡 量 目标 函数 的数 量指 标 （ 润 、费 用 、成 本 、 ３选 利 产 量等） ：
２ 资金分配 问题 ． 设 有 ｎ 个 投 资项 目：Ｉ Ｉ ， ， 及 年 内逐 年 投 入 资 ， ：… Ｉ
，
金 矩
（ ）收集和确 定数 学模 型的所有参数 （ ｉｃ ，，ｂ ）的数 ４ ａ ｉ
通 常要 求 这 些 未 知 数 的取 值 是 非 负 整 数 ；
建立如下整数规划模 型：
ｍ１ｎ Ｚ ： ｌ＋ Ｘ２ ＋ …
（ ）存在一定 的限制条件 （ 为约 束条件 ） ２ 称 ，这些 限制 条件都可 以用一组线性等式或线性不等式来表示 ；
（ ）存 在 一 定 的 目标 要 求 ，并 且 这 个 目标 可 表 示 为 一 组 ３ 未 知 数 的线 性 函 数 （ 为 目标 函数 ） 称 ，根据 问题 不 同 ，要 求 目 标 函数 实 现 最 大 化 或 者最 小 化 。
目 函 ｍｘ ｉ ：：ｎ ； 标 数 ａ或ｍｎ ｚ ∑ｃ （ ）
ｊｌ ＝
约 束条件 Ｉ 口ｚ ＝ ， － ，… ） ， ｂ（ １， ， ｆ ２
Ｊ ’
ｆ＿ ｆ
Ｉ 为非负整数 （＝１ ， ｎ ， ， …，） ２
定义 ２ 整数规划： 求一部分或全部决策变量必须取整 要 数值 的规 划 问题 称 为 整 数 规 划 。 定 义 ３ 整 数规 划 分 为纯 整 数 规划 和 混 合 整 数 规 划 ， 其 若
定 义 １ 一 般 的整 数 规 划 模 型 是 ：
来 求 借 ，例 如 Ｍ ｐ ｅ ｉ ｇ 、Ｍ ｔ ａ ａ ｌ 、Ｌ ｎ ｏ ａ ｌ ｂ等 。
（ ）基本 整数 规 划模 型 二
１ 合 理 下 料 问题 ． 工 地 上 需 要 长 度 为 ｆ１ 一， 的 钢 材 数 分 别 为 ｌ， ， ｂ ， ：… ｂ 。ｂ ， ， 根 时 ，取 长 为 ，的 原 材 料 进 行 截 取 ， 已知 有 ｎ 种截取方案 ：
，
【 稿 日期 】２ １ — ３ ２ 收 ０ ０ ０ —１
【 作者简介 】林秋红 （ ９ ２ ） ，肇庆科技职 业技 术学院高等数学教研组助教 ，研 究方 向为高等数 学教 育。 １ ８ 一 ，女
一
２１一
ｂ＝ （ 。ｂ ， ， ），其 中 ｂ 为 第 ｉ年 投 资 的金 额 ６， … ｂ ｉ