数列的几种递推公式一、 )(1n f a a n n +=+解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:已知数列{}n a 满足211=a ,nn a a n n ++=+211,求n a 。
二、 n n a n f a )(1=+解法:把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。
例3:已知31=a ,n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ,求n a 。
解:123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---=3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=---。
变式:已知数列{a n },满足a 1=1,1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2),则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥解:由已知,得n n n na a n a a a a +-+⋅⋅⋅+++=-+13211)1(32, 用此式减去已知式,得当2≥n 时,n n n na a a =-+1,即n n a n a )1(1+=+, 又112==a a ,n a a a aa a a a a n n =⋅⋅⋅====∴-13423121,,4,3,1,1, 将以上n 个式子相乘,得2!n a n =)2(≥n三、 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。
解法(待定系数法):把原递推公式转化为:)(1t a p t a n n -=-+,其中pqt -=1,再利用换元法转化为等比数列求解。
例4.已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a .解:设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a , 令3+=n n a b ,则4311=+=a b ,且23311=++=++n n n n a a b b . 所以{}n b 是以41=b 为首项,2为公比的等比数列, 则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .变式:在数列{}n a 中,若111,23(1)n n a a a n +==+≥,则该数列的通项n a =_______________(key:321-=+n n a )四、类型4 nn n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。
(或1nn n a pa rq +=+,其中p ,q, r 均为常数) 。
解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以1+n q ,得:q q a q p q a n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b (其中nnn q a b =),得:q b q p b n n 11+=+再待定系数法解决。
例5:已知数列{}n a 中,651=a ,11)21(31+++=n n n a a ,求n a 。
解:在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得:1)2(32211+•=•++n n n n a a 令nnn a b •=2,则1321+=+n n b b ,解之得:nn b )32(23-= 所以nn nn n b a )31(2)21(32-==五、递推公式为nS 与na 的关系式。
(或()n n S f a =)解法:利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或 与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a进行求解。
例6. 数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .(1)求1+n a 与na 的关系;(2)求通项公式na .解:(1)由2214---=n n n a S 得:111214-++--=n n n a S于是)2121()(1211--++-+-=-n n n n n n a a S S ,所以11121-+++-=n n n n a a a n nn a a 21211+=⇒+.(2)应用类型(nn n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq ))的方法,上式两边同乘以12+n 得:22211+=++n n n n a a由1214121111=⇒--==-a a S a .于是数列{}n n a 2是以2为首项,2为公差的等差数列,所以n n a n n2)1(222=-+=12-=⇒n n na六、倒数变换:将递推数列1n n n ca a a d+=+(0,0)c d ≠≠,取倒数变成1111n n d a c a c +=+ 的形式的方法叫倒数变换.例7. 已知数列{}n a *()n N ∈中, 11a =,121nn n a a a +=+,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】:将121n n n a a a +=+取倒数得: 1112n n a a +=+,1112n na a +-=, ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,公差为2的等差数列. 112(1)n n a =+-,∴121n a n =-.跟踪训练 已知数列{}n a 中, ,122nn n a a a +=+,求数列{}n a 的通项公式.(1)公式法:必须记住几个常见数列前n 项和2)1(2)(11dn n na a a n S n n -+=+=; ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==11)1(111q q q a q na S n n ;1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为22(,),n S pn a q p q R n N =-+∈∈ (Ⅰ)求q 的值;(Ⅱ)若a 1与a 5的等差中项为18,b n 满足22log n na b =,求数列的{b n }前n 项和.(Ⅰ)解法一: 当1n =时,112a S p q==-+,当2n ≥时,2212(1)2(1)n n n a S S pn n q p n n q -=-=-+--+--22pn p =--.{}n a 是等差数列,222p q p p ∴-+=--,0q ∴=············4分解法二:当1n =时,112a S p q==-+,当2n ≥时,2212(1)2(1)n n n a S S pn n q p n n q -=-=-+--+--22pm p =--.当3n ≥时,1122[2(1)2]2n a a pn p p n p p--=------=.22232a p q p p q=-++=-+.又222232a p p p =⋅--=-,所以3232p q p -+=-,得0q =.············4分(Ⅱ)解:1512a a a +=,318a ∴=.又362a p p =--,6218p p ∴--=,4p ∴=86n a n ∴=-············8分又22log n n a b =得432n n b -=.12b ∴=,4(1)1414322162n n n n b b --+-===,即{}n b 是等比数列.所以数列{}n b 的前n 项和2(116)2(161)11615n nn T -==--如:求1+1,41+a ,712+a ,…,2311-+-n a n ,…的前n 项和(注:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=+=12)13(12)13(a n n a nn S n )(3)裂项法: 如)2(1+=n n a n 求S n常用的裂项有111)1(1+-=+n n n n ; )211(21)2(1+-=+n n n n ;])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n2.已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点,其导函数为'()62f x x =-,数列{}n a 的前n 项和为nS ,点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
(Ⅰ)、求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)、设11n n n b a a +=,n T 是数列{}n b 的前n 项和,求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ;解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax 2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b, 由于f`(x)=6x -2,得a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x 2-2x. 又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上,所以n S=3n 2-2n. 当n≥2时,a n =S n -S n -1=(3n 2-2n )-[])1(2)132---n n (=6n -5.当n =1时,a 1=S 1=3×12-2=6×1-5,所以,a n =6n -5 (n N *∈)(Ⅱ)由(Ⅰ)得知13+=n n n a a b =[]5)1(6)56(3---n n =)161561(21+--n n ,故T n =∑=ni ib 1=21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n =21(1-161+n ).因此,要使21(1-161+n )<20m (n N *∈)成立的m,必须且仅须满足21≤20m,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m 为10.(4)错位相减法:其特点是c n =a n b n 其中{a n }是等差,{b n }是等比 如:求和S n =1+3x+5x 2+7x 3+……+(2n-1)x n -1 注意讨论x ,⎪⎩⎪⎨⎧≠-+++--==+1)1()1()12()12(1212x x x x n x n x n S n n n(5)倒叙相加法:等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。