练考题、验能力、轻巧夺冠
▪ (1)“基础”——数列{an}的第1项或前几项； ▪ (2)递推关系——数列{an}的任一项an与它的前一
项an－1(或前几项)之间的关系，并且这个关系 可以用一个公式来表示．如果两个条件缺一个， 数列就不能确定．
2．用递推公式求数列的通项公式 (1)累加法 当 an－an－1＝f(n)满足一定规律时，可用 an＝(an－an－1) ＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 来求通项 an. (2)累乘法 当aan－n 1＝g(n)满足一定条件时，可用 an＝aan－n1·aann－ －12·…·aa21·a1 来求通项 an.
▪ 1.体会递推公式是数列的一种表示方法．
▪ 2.理解递推公式的含义，能够根据递推公式写 出数列的前几项．
▪ 3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公 式.
▪ 1.对通项公式及递推公式的考查是本课的热 点．
▪ 2.本课时的内容常与函数，不等式结合命题． ▪ 3.多以选择题，解答题的形式考查.
题型2 已知递推公式，用累加法求通项公式
例 2：已知数列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)，求数列 {an}的通项公式．
思维突破：先对an＝an－1＋3 从2 到n 进行取值，得到(n－1) 个式子，再把这(n－1)个式子相加，消去中间项．
解：由递推关系an＝an－1＋3(n≥2)，得 a2＝a1＋3，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋3. 将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得 a2＋a3＋…＋an－1＋an
aa21·aa23·aa43·…·aan－n 1＝aa1n＝2n－1(n≥2)， 又 a1＝1＝20，∴通项公式为 an＝2n－1. 方法二(迭代法)： an＝2an－1＝22an－2＝23an－3 ＝…＝2n－1a1＝2n－1， 即通项公式为 an＝2n－1.
已知数列的递推公式，求前几项
例 1: 已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1，n∈N*.
(2)由 an＝an－1＋nn1－1得 an－an－1＝nn1－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＋a1
＝nn1－1＋n－11n－2＋…＋3×1 2＋2×1 1＋1 ＝n－1 1－1n＋n－1 2－n－1 1＋…＋12－13＋1－12＋1＝ －1n＋1＋1＝2－1n＝2n－ n 1(n≥2). 当 n＝1 时，a1＝1＝2×11－1，满足 an＝2n－ n 1. 综上，an＝2n－ n 1(n∈N*).
已知a1及相邻项间的关 系式
都可以 确定 数列
▪ 1 ． 已 知 数 列 {an} ， a1 ＝ 1 ， an － an － 1 ＝ n － 1(n≥2)．则a6＝( )
▪ A．7
B．11
▪ C．16
D．17
▪ 解析： ∵a1＝1，an－an－1＝n－1 ▪ ∴a2－a1＝1 ▪ a3－a2＝2 ▪ a4－a3＝3 ▪ a5－a4＝4 ▪ a6－a5＝5 ▪ 累加得a6－a1＝1＋2＋3＋4＋5 ▪ ∴a6＝1＋15＝16.故选C. ▪ 答案： C
▪ 3．与数列递推公式有关的问题
▪ 数列递推公式的主要题型：
▪ (1)根据数列的递推公式和第1项(或其他项) 求数列的前几项；
▪ (2)根 据数 列的递 推公式 求数列的通项公 式．
◎已知 an＝a12n(a≠0 且为常数)，试判断数列{an}的单 调性．
【错解】 因为 an－an－1＝a12n－a12n－1＝－a12n<0， 所以数列{an}是单调递减数列．
▪ 【错因】 上述解法中误认为a>0，而对于非 零实数a，应讨论a>0或a<0两种情况．
【正解】 因为 an－an－1＝－a12n(n≥2，n∈N*)， 所以当 a>0 时，an－an－1<0，所以 an<an－ 故数列{an}是递减数列； 当 a<0 时，an－an－1>0，所以 an>an－1， 故数列{an}是递增数列.
数列的递推公式是由递推关系式( 递推) 和 首项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样，而首项 不同就可得到两个不同的数列．
1－1.根据下列各数列的首项和递推公式，分别 写出它的前五项，并归纳出通项公式：
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＋1＝a2n＋an2 (n∈N*)．
▪ [题后感悟] 由数列的递推公式求通项公式 是数列的重要问题之一，是高考考查的热 点．已知数列的递推公式求通项公式，可 把每相邻两项的关系列出来，抓住它们的 特点进行适当地处理．形如an－an－1＝f(n) 的题目可用累加法．
3.例题中，a1＝1，若数列{an}的以后各项由 an＝an－1＋ n－11n＋1(n≥2)给出，如何求数列的前 5 项与通项公式 an?
＝a1＋3＋a2＋3＋a3＋3＋…＋an－1＋3， 消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理得an＝a1＋3(n－1)． ∵a1＝5，∴an＝3n＋2.
若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式， 且可求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，可用累加法求通项公式．
题型3 已知递推公式，用累乘法求通项公式
▪ 2．数列2,4,6,8,10，…的递推公式是( )
▪ A．an＝an－1＋2(n≥2) ▪ B．an＝2an－1(n≥2) ▪ C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2) ▪ D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
▪ 解析： a2－a1＝2 ▪ a3－a2＝2 ▪ a4－a3＝2 ▪ a5－a4＝2 ▪ ∴an－an－1＝2，即an＝an－1＋2(n≥2)，故选C. ▪ 答案： C
解析： ∵a1＝1，an＝an－1＋n－11n＋1(n≥2) ∴a2＝a1＋1×1 3＝43；a3＝a2＋2×1 4＝3254； a4＝a3＋3×1 5＝6410；a5＝a4＋4×1 6＝4370.
又 an－an－1＝n－11n＋1 ＝12n－1 1－n＋1 1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＋a1 ＝12[(n－1 1－n＋1 1)＋(n－1 2－1n)＋…＋(12－14)＋(1－13)]＋1 ＝12－n＋1 1－1n＋12＋1＋1 ＝7n42n＋2＋3n4－n 2(n≥2)．
(1)若a1＝－1，写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式 (2)若a1＝1，写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式．
解： (1)a1＝a2＝a3＝a4＝－1， 可推测数列{an}的通项公式an＝－1. (2)a1＝1，a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋ 1＝15.可推测数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
当 n＝1 时，a1＝7×142×＋13＋×41－2＝1， ∴n＝1 满足 an＝7n42n＋2＋3n4－n 2. 综上，an＝7n42n＋2＋3n4－n 2(n∈N*)．
▪ 1．准确理解数列的递推公式的概念
▪ 递推公式是间接反映数列的式子，它是数列任 意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能 由n直接得出an.用递推公式给出一个数列，必 须给出以下两点：
3．已知数列{an}满足 a1>0，aan＋n1＝12(n∈N*)，则数列{an} 是________数列(填“递增”或“递减”)．
解析： 由已知 a1>0，an＋1＝12an(n∈N*)， 得 an>0(n∈N*)． 答又案a：n＋1－递a减n＝12an－an＝－12an<0， ∴{an}是递减数列．
▪ 如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第 二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项 an－1 (或前几项)(n≥2，n∈N*)间的关系可以
用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个
数列的
递公推 式．
▪ 3．通项公式与递推公式的区别与联系
区别
联系
通项公 式
递推公 式
项an是序号n的函数式an ＝f(n)
(1)写出数列{an}的前 5 项； (2)求数列{an}的通项公式．
由题目可获取以下主要信息： ①an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＋a1； ②nn1－1＝n－1 1－1n. 解答本题运用累加法与裂项相消法即可．
[规范作答] (1)a1＝1；a2＝a1＋2×1 1＝32； a3＝a2＋3×1 2＝53；a4＝a3＋4×1 3＝74； a5＝a4＋5×1 4＝95.
a2·a3·a4·…·an－1·an ＝13a1·13a2·13a3·13a4·…·13an－1.
又∵此数列为正项数列，∴数列中各项均不为零，
即 a2·a3·a4·…·an－1≠0，
1 ∴an＝ 3 n－1a1.
1 又∵a1＝1，∴an＝ 3 n－1.
已知数列{an}，a1＝1，以后各项由 an＝an－1＋nn1－1 (n≥2)给出．
下列数列{an}中，an 随 n 的变化有何规律？ (1)an＝3n－1； (2)an＝1＋n12； (3)an＝2.
▪ 1．数列的单调性
▪ 在数列{an}中，若an＋1 >an，则{an}是递增数列；
若an＋1 an，则< {an}是递减数列；若an＋1
an，
＝ 则{an}是常数列．
▪ 2．数列的递推公式
例3 设{an}是首项为 1 的正项数列，且满足关系： an＝3an＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
解：∵an＝3an＋1，∴an＋1＝13an.
对 n 从 1 到 n－1 依次取值，得
a2＝13a1，a3＝13a2，a4＝13a3，…，an＝13an－1.
将上述(n－1)个等式两边同时相乘，得
▪ 4．已知a1＝1，an＋1＝2an， ▪ (1)写出数列的前五项； ▪ (2)求数列的一个通项公式．