专题八：几何证明题【问题解析】几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力，几何证明题和计算题在中考中占有重要地位•根据新的课程标准，对几何证明题证明的方法技巧上要降低，繁琐性、难度方面要降低•但是注重考查学生的基础把握推理能力，所以几何证明题是目前常考的题型.【热点探究】类型一：关于三角形的综合证明题【例题11(2016 •四川南充)已知△ ABN和厶ACM位置如图所示，AB=ACAD=AE /仁/ 2.(1) 求证：BD=CE(2) 求证：/ M=/ N.【分析】(1)由SAS证明△ ABD^A ACE得出对应边相等即可(2)证出/BAN/ CAM由全等三角形的性质得出/ B=/ C,由AAS证明△ ACI WA ABN 得出对应角相等即可.【解答】(1)证明：在厶ABD和厶ACE中，’IL*•••△ABD^A ACE( SAS,••• BD=CE(2)证明：T/ 1=/ 2,• / 1+/ DAE/ 2+/ DAE 即/ BAN/ CAM由(1)得：△ ABD^A ACE• / B=/ C,r zc=z&«AC=AB在厶ACM^n^ ABN 中，| Z CM=Z BAN,•••△ ACMmABN( ASA,•••/ M= N.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键.【同步练】(2016 •山东省荷泽市・3 分)如图，△ ACB和厶DCE均为等腰三角形，点A，D, E在同一直线上，连接BE(1)如图1，若/ CAB M CBA M CDE M CED=50①求证：AD=BE②求/ AEB的度数.(2)如图2,若/ ACB M DCE=120 , CM^^ DCE中DE边上的高，BN%A ABE 中AE边类型二：关于四边形的综合证明题【例题2] (2016 •山东省滨州市•10分)如图，BD是△ ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB, BD BC于点E，F，G,连接ED DG(1)请判断四边形EBGD勺形状，并说明理由；(2)若/ ABC=30，/ C=45, , 点H是BD上的一个动点，求HG+HC勺最小值.【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质.【分析】（1）结论四边形EBGD是菱形.只要证明BE=ED=DG=G即可.（2）作EM L BC于M, DN^ BC于N,连接EC交BD于点H 此时HG+H（最小，在RT^ EMC 中，求出EM MC即可解决问题.【解答】解：（1）四边形EBGD是菱形.理由：••• EG垂直平分BD••• EB=ED GB=GD•••/ EBD=/ EDB•••/ EBD=/ DBC•••/ EDF玄GBF在厶EFD和△ GFB中，r ZEPF=ZGBF“ ZEFD^ZGFB,DF=BF•△EFD^A GFB• ED=BG• BE=ED=DG=GB•四边形EBGD是菱形.（2）作EM L BC于M, DNL BC于N ,连接EC交BD于点H ,此时HG+HC t小,在RT^ EBM 中，I/ EMB=90 , / EBM=30 , EB=ED=^Q ,• EM=7BE= I ',•••DE// BC, EMIBC, DN!BC,• EM// DIN EM=DN= , MN=DE=2可!',在RT^ DNC中 , DNC=90 , / DCN=45 ,NDC/ NCD=45 ,• DN=NC= ,••• MC=3 | ,在RT^ EMC中，•••/ EMC=90 , EM= - . MC=3 ,•EC粕珊5腿也』（帧）S （3负）'=10履.•/ HG+HC=EH+HC=,EC• HG+HC勺最小值为10 | -.B M 仔N C【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型.【同步练】(2016 •山东省济宁市• 3分)如图，正方形ABCD勺对角线AC BD相交于点0,延长CB至点F,使CF=CA连接AF,/ ACF的平分线分别交AF, AB, BD于点E, N, M,连接E0.(1)已知BD=",求正方形ABCD勺边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.类型三：关于圆的综合证明题【例题3】(2016 •山东潍坊)正方形ABCD内接于O 0,如图所示，在劣弧—上取一点E,连接DE BE,过点D作DF// BE交OO于点F,连接BF、AF,且AF与DE相交于点G 求证：(1)四边形EBFD是矩形；（2）DG=BE【分析】(1)直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出/ BED=/ BAD=90，/ BFD2 BCD=90，/ EDF=90，进而得出答案；(2)直接利用正方形的性质疋的度数是90°,进而得出BE=DF则BE=DG【解答】证明：(1厂••正方形ABCD内接于O 0,•••/ BED d BAD=90，/ BFD2 BCD=90 ,又• DF// BE•••/ EDF+d BED=180 ,•••/ EDF=90 ,•四边形EBFD是矩形;(2)) •正方形ABCD内接于O 0,•「的度数是90°,•••/ AFD=45 ,又GDF=90 ,•••/ DGF d DFC=45 ,• DG=DF又••在矩形EBFD中, BE=D【同步练】(枣庄市2015 中考-24 )如图，在△ ABC中，/ ABC=90，以AB的中点0为圆心、0A为半径的圆交AC于点D, E是BC的中点，连接DE, 0E(1)判断DE与OO的位置关系，并说明理由；(2)求证：BC=CD?20；(3)若cos / BAD=3, BE=6,求0E 的长.5类型四：关于相似三角形的证明问题【例题4】（2016 •黑龙江齐齐哈尔・8 分）如图，在△ ABC中，ADL BQ BEL AC垂足分别为D, E, AD与BE相交于点F.(1) 求证：△ AC SA BFD(2) 当tan / ABD=1 AC=3时，求BF 的长.【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】（1）由/ C+Z DBF=90 , / C+Z DAC=90 ,推出/ DBF2 DAC 由此即可证明.（2）先证明AD=B»由厶ACDo^ BFD得丛=奧=1，即可解决问题.EF BD【解答】（1）证明：T AD L BC, BE L AC,•••Z BDF Z ADC Z BEC=90 , •••Z C+Z DBF=90 , Z C+Z DAC=90 ,• Z DBF Z DAC(2)v tan Z ABD=1 Z ADB=90「A• AD=BDAC EF ⑴ ⑵ V C3 S 图1 图？ BE•••BF=AC=3BP 的长. 【同步练】（2016 •湖北武汉• 10分）在厶ABC 中，P 为边AB 上一点.① 如图2,若/ PBM^Z ACP AB= 3，求BP 的长;②如图3,若/ ABC= 45°,/ A =Z BM = 60°,直接写出如图 1，若/ ACP=/ B,求证： AC = AP- AB若M 为CP 的中点，AC = 2,【达标检测】1. （2016 •黑龙江哈尔滨・8 分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上, AQL BE 于点Q DPI AQ 于点P.（1）求证：AP=BQ（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与2. （2016 •四川内江）（9分）如图6所示，△ ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF= BD连接BF.⑴求证：D是BC的中点；（2）若AB= AC,试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.图63. （烟台市2015中考-23 ）如图，以△ ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC, BC的交点分别为D、E,且「上f -.（1）试判断△ ABC的形状，并说明理由.（2）已知半圆的半径为5, BC=12求sin /ABD的值.4. (2015?内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第22题7分)如图，在平行四边形ABCD中, E、F 分别为边AB CD的中点，BD是对角线.(1)求证：△ ADE^A CBF；(2)若/ ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论.5. (烟台市2014中考-24 )如图，AB是OO的直径，延长AB至P,使BP=OB BD垂直于弦BC垂足为点B,点D在PC上.设/ PCB=a，/ POC=3 .求证：tan a ?tan 卫-=2.2 36. (2015?梧州，第25题12分)如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D 重合，BP的垂直平分线分别交CD AB于E、F两点，垂足为Q过E作EF U AB于H.(1)求证：HF=AR(2)若正方形ABCD的边长为12, AP=4,求线段EQ的长.2__亡D7. (2015?北海,第25题12分)如图，AB CD为O O的直径，弦AE// CD连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使/ PED=/ C.(1)求证：PE是O O的切线；(2)求证：ED平分/ BEP(3)若O O的半径为5, CF=2EF,求PD的长.【参考答案】类型一：关于三角形的综合证明题【同步练】（2016 •山东省荷泽市・3 分）如图，△ ACB 和厶DCE 均为等腰三角形，点 A , D, E 在同一直线上，连接 BE（1）如图 1，若/ CAB=/ CBA=/ CDE M CED=50① 求证：AD=BE② 求/ AEB 的度数.(2)如图 2,若/ ACB M DCE=120 , CM ^^ DCE 中 DE 边上的高，ABE 中 AE 边【考点】等腰三角形的性质.【分析】（1 ［①通过角的计算找出/ ACD M BCE 再结合△ ACB 和厶DCE 均为等腰三角形可得出“ AC=BC DC=EC ，利用全等三角形的判定（SAS 即可证出厶ACD^^ BCE 由此即可得出结论AD=BE②结合①中的△ ACD^^ BCE 可得出/ ADC M BEC 再通过角的计算即可算出/ AEB 的度 数；（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数， 即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段 AD DE 的长度，二者相加即可证出结论. 【解答】（1）①证明：•••/ CAB M CBA M CDE M CED=50 ,•••/ ACB d DCE=180 - 2X 50° =80°•••/ ACB d ACD # DCB / DCE M DCB # BCE•••/ ACD M BCE•/△ ACB 和厶DCE 均为等腰三角形，• AC=BC DC=EC上的高，试证明: AE=2 CMAC^BC ZACD^Z BCE , DC=EC •••△ ACD^A BCE( SAS ,••• AD=BE②解：•••△ ACD^^ BCE•••/ ADC M BEC •••点A, D, E 在同一直线上，且/ CDE=50 ,•••/ ADC=180 -Z CDE=130 ,•••/ BEC=130 .vZ BEC Z CED Z AEB 且 Z CED=50 ,• Z AEB Z BEC-Z CED=130 - 50° =80°.(2)证明：•••△ ACB 和厶DCE 均为等腰三角形，且Z ACB Z DCE=120 ,• Z CDM Z CEM=- X( 180°- 120°) =30°. 1•/ CM L DE• Z CMD=9°0 , DM=EM在 Rt △ CMD 中, Z CMD=9° , Z CDM=3° ,vZ BEC Z ADC=180 - 30° =150°, Z BEC Z CEM Z AEB• Z AEB Z BEC-Z CEM=15° - 30° =120° ,• Z BEN=180 - 120° =60°在 Rt △ BNE 中，Z BNE=90 , Z BEN=60 ,v AD=BE AE=AD+DE【点评】本题考查了等腰三角形的性质、 全等三角形的判定及性质、 解直角三角形以及角的计算，解题的关键是：(1)通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ ACD^^ BCE(2)找出线段AD DE 的长.本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时， I• BE= ginZBEN• DE=2DM=2• AE=BE+DE BN+2. 「CM利用角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键.类型二：关于四边形的综合证明题【同步练】(2016 •山东省济宁市• 3分)如图，正方形ABCD勺对角线AC BD相交于点0,延长CB至点F,使CF=CA连接AF,/ ACF的平分线分别交AF, AB, BD于点E, N, M,连接E0.(1)已知BD= •・.，求正方形ABCD勺边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.尸月C【考点】正方形的性质.【分析】(1)根据正方形的性质以及勾股定理即可求得；(2)根据等腰三角形三线合一的性质证得CE! AF,进一步得出/ BAF=/ BCN然后通过证得△ ABF^A CBN得出AF=CN进而证得厶ABF^A COM根据相似三角形的性质和正方形的性质即可证得CN=「■ CM【解答】解：(1)v四边形ABCD是正方形，•••△ABD是等腰直角三角形，•••2AB^B D,•- BD= ■-,• AB=1,•正方形ABCD的边长为1;(2) CN=. ：CM证明：••• CF=CA AF是/ACF的平分线，• CE! AF,•/ AEN/ CBN=90 ,•••/ ANE/ CNB•/ BAF=/ BCN在厶ABF和厶CBN中 ,ZBAF=ZBCNI ZABF=ZCBN=90°，AB=BC•••△ ABF ^A CBN( AAS ,••• AF=CN•••/ BAF=/ BCN / ACN=/ BCN•••/ BAF=/ OCM•••四边形ABCD 是正方形，• AC 丄 BD,• / ABF=/ COM=90 ,• △ ABF^A COM即 CN= [ CM类型三：关于圆的综合证明题【同步练】(枣庄市2015 中考-24 )如图，在△ ABC 中，/ ABC=90，以 AB 的中点O 为圆心、OA 为半径的圆交AC 于点D, E 是BC 的中点，连接DE OE(1) 判断DE 与OO 的位置关系，并说明理由；(2) 求证：BC=CD?2O ；3(3) 若 cos / BAD= , BE=6,求 OE 的长.5思路分析：本题考查了切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点. 故对于题(1) ,也2 c- C---E O-AJo- c X-疔M N c-Alc c可以连接OD BD,由AB为圆O的直径，得到/ ADB为直角，从而得出三角形BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE利用等边对等角得到一对角相等，再由OA=OD利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形ABC中两锐角互余，利用等角的余角相等得到/ ADO与/CDE互余，可得出/ ODE为直角，即DE垂直于半径OD可得出DE为圆0的切线；对于题(2)首先可证明OE：＞A ABC的中位线，贝U AC=2OE然后证明厶ABS A BDC根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；对于题(3)在直角△ ABC中，利用勾股定理求得AC的长，之后根据三角形中位线定理OE的长即可求得.解题过程：(1)证明：连接OD BD•/ AB为圆O的直径，•••/ ADB=90 ,在Rt△ BDC中，E为斜边BC的中点，1• CE=DE=BE= BC2•••/ C=Z CDE•/ OA=OD•••/ A=Z ADO•••/ ABC=90，即/ C+Z A=90 ,•••/ ADO Z CDE=90，即Z ODE=90 ,• DELOD又OD为圆的半径，• DE为OO的切线；(2)证明：TE是BC的中点，O点是AB的中点，•••。