函数解析式与复合函数
一． 解析式的求法
1. 代入法
例1、()21f x x =+，求(1)f x +
2. 待定系数法
例2、二次函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=-，且()0f x =的两实根平方和为10，图像过点(0,3)，求()
f x 解析式
3. 换元法
例3、2134(31)x x
f x +-+=
，求()f x 解析式
4. 配凑法
例4、2(31)965f x x x +=-+，求()f x 解析式
5. 消元法（构造方程组法）
例5、()()1f x f x x +-=-，求()f x 解析式
6. 利用函数的性质求解析式
例6、已知函数()y f x =是定义在区间33,22[]-上的偶函数，且32[0,]x ∈时，25()x f x x -+=- (1)求()f x 解析式
(2)若矩形ABCD 顶点,A B 在函数()y f x =图像上，顶点,C D 在x 轴上，求矩形ABCD 面积的最大值
例7、已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()y f x =(11)x -≤≤是奇函数，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值，最小值为-5
（1）证明：(1)(4)0f f +=
（2）试求()y f x =，[1,4]x ∈的解析式
（3）试求()y f x =在[4,9]x ∈上的解析式
二、复合函数的性质
1、复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上的单调性：
)(x g u =,)(u f y =增减性相同时, [])(x g f y =为增函数,
)(x g u =,)(u f y =增减性相反时, [])(x g f y =为减函数.
求复合函数单调区间的步骤是：
(1)求函数的定义域；
(2)用换元法把复合函数分解成常见函数；
(3)求各常见函数的单调区间；
(4)把中间变量的变化区间转化成自变量的变化区间；
(5)按复合函数单调性的规律，求出复合函数的单调区间．
例8、 求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)
例9、求复合函数213
log (2)y x x =-的单调区间
例10、求y=2x 6x 7--的单调区间和最值。

例11、 求y=12x x 221--⎪⎭
⎫ ⎝⎛的单调区间。

2、复合函数[])(x g f y =的奇偶性
若函数[])(),(),(x g f x g x f 的定义域都是关于原点对称的,那么由 )(),(u f y x g u ==的奇偶性得到[])(x g f y =的奇偶性的规律是:
即当且仅当)(x g u =和)(u f y =都是奇函数时,复合函数[])(x g f y =是奇函数. 作业：
1、若函数(1)f x -定义域为(3,4]，则函数f 的定义域为
2、已知函数()f x =定义域为R ，则实数a 的取值范围是
3、已知2211()f x x x x
-=+，则(1)f x += 4、已知2(1)34f x x x +=++，则()f x =
5、已知函数()f x 的图像与函数1()2h x x x =+
+的图像关于点A(0,1)对称 （1）求函数()f x 的解析式
（2）若()()a g x f x x
=+，且()g x 在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围
6、设()f x 是定义在R 上的函数，且()f x 满足(2)()f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，求[2,0]x ∈-时()f x 的解析式
7、()f x 的定义域为R,则求m 的取值范围
8、已知函数211()log 1x f x x x +=
--,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性。

9、求函数)5,0[,)
31(42∈=-x y x x 的值域。

10、求函数1
1()()142
x x y =-+在[]3,2x ∈-上的值域。