《时间与空间》小论文10级严济慈班蔡一鸣一，“火车过隧道”问题的修改与讨论1，问题的提出与简化课本中曾经提到过“火车过隧道”问题，原本看似矛盾的结果最终由“同时的相对性”得以解释：在与隧道相对静止的参考系看来，车与隧道中点重合时前后门同时关上，将因尺缩效应收缩的火车关在隧道内，故火车会与前门相撞；而在与火车相对静止的参考系看来，隧道前门先关上，然后才有车与隧道中点重合，最后后门关上，因而也会有火车与前门相撞。

尽管在火车参考系看来，火车并未完整地被隧道关在里面，但火车的撞毁使这一问题得到了回避。

类似地，注意到在“坦克过壕沟”问题中，同样也是由于坦克前端向下的偏移使火车撞毁，从而回避了火车在壕沟参考系看来是完整地落入，而在火车看来则是“粉碎”地落入的区别。

我不禁想，如果对“火车过隧道”问题加以修改，使火车没有撞毁或者用因果关系的制约，强迫后门的动作在时间上在前门动作之前，会呈现出什么情形呢？于是，我对原问题加以改造：火车与隧道中点重合时，同时关上隧道的前门与后门，并由后门向前门发射一束光信号，当前门接收到信号时打开前门。

由于此时问题的关键点已与中点无关，同时为了简化下面的讨论与计算，故将问题进一步简化为：当隧道后门与火车尾端重合时，同时关闭前后门并由后门向发射信号。

考虑到既然后门向前门发射信号是以“有限”而非“无限大”的光速来讨论的，那么就不应该再认为可以在某点重合的“同时”关上前后门，因为“关门”这个命令的传播也是需要时间的。

故将问题修改为：初始状态为后门打开，前门关闭，当火车运行到尾端与隧道后门重合时，由后门发射一束光信号至隧道前门，当前门接收到信号时打开前门。

2，表面上可能存在的矛盾在与隧道相对静止的参考系（记作K系）看来：火车尾端重合后，由于光信号的速度比火车快，故信号可能比火车前端先到达前门，则前门先打开，故火车不会撞上前门；而在与火车相对静止的参考系（记作K ’系）看来：火车长度很可能已经比收缩后的隧道长，则火车尾端未与后门重合时火车前端就已经撞上隧道前门了。

3，计算设火车长度为L ，速度为v ，隧道长度为N ，光速为c 。

记比例c v /=λ，N L /=µ，取与隧道相对静止的参考系为K 系，取与火车相对静止的参考系为K ’系。

t =t'=0时，火车尾端与隧道后门处重合。

那么，在K 系看来：00=t 时，由后门向前门发出信号；c N t /1=时，前门受到信号，开前门；v L N t /)(2′−=，γ/L L =′时火车前端到达前门处。

故要求火车不与前门相撞，需有：12t t >带入计算：12t t >，得v L v L N //)(>′−，得21/1λµγµλ−=>−，得λλµ+−<11。

在K ’系看来：00=′t 时，火车尾端来到后门；)/(1v c N t +′=′，γ/N N =′时，前门收到信号，开门；v L N t /)(2−′=′时，火车前端到达前门。

故要求火车不与前门相撞，需有：12t t ′>′，且N L ′<（否则在00=′t 时就相撞了）。

代入计算：12t t ′>′，得)/(/)(v c N v L N +′>−′，（注意到N L ′<已包含在此方程内），得21/1)1(λγλµ−=<+，得λλµ+−<11。

注：上述计算中取“)/(1v c N t +′=′”而不是“c N t /1′=′”并不违反“真空光速在任一惯性参考系中都是c ”，反而正是其结果。

因为此时是取K ’作为观测者所在的参考系，故信号的光速是相对于火车而言，而信号要走过的距离是收缩后的N ’减去隧道相对于火车运动过的v t ×′1，即N c t v t ′=×′+×′11，从而有)/(1v c N t +′=′。

故由上述计算，在λλµ+−<11时，无论从K 系还是K ’看来，火车都不会与前门相撞；在λλµ+−>11时，无论从K 系还是K ’看来，火车都会与前门相撞。

故并无矛盾之处。

二，“坦克过壕沟”问题的思考与讨论1，原问题如下：如图，平面上有一壕沟（不考虑宽度、深度），一长度与壕沟相同的坦克（简化为一长方体）以很高的速度（“尺缩效应”明显）驶向壕沟，考察其是否会掉落壕沟。

原问题解决的关键在于，“在速度接近光速时，没有一个物体可以看做刚体”2，对此问题中“刚体”的理解把与壕沟相对静止的参考系记作K 系，与坦克相对静止记作K ’系。

对于K ’系而言，坦克仍可以被看做刚体，它的近似刚体性质（无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变）仍然与低速时在其他任意惯性系中一样，否则将会违反狭义相对论中的“相对性原理”。

故在K ’系看来，坦克并不是“濒临解体”的状态。

对于K 系而言，表面上说，似乎该高速运动的坦克已不能再看做刚体，因为任一材料内的弹性波的传播速度都远小于光速，远小于此刻坦克的速度。

故坦克穿过壕沟这样的距离用时很短，而在我们所考察的这段很短的时间里坦克某处的扰动不能及时通过弹性波传递到坦克的其他部分，该处的应力不能“及时”与外力达到平衡，坦克的形变不能及时被纠正过来，故对于本问题来说，坦克还没来得及通过质点之间的相互作用恢复下底面受重力作用产生的形变，就已经高速撞上壕沟的远端，进而“碎裂”，最后掉落壕沟底部。

但是我认为，在上述K 系中，“高速运动的物体不能再近似地看做刚体”是由于我们的考察时间过短导致的。

试想，如果坦克没因为很快就撞上壕沟前端而导致模型毁灭，那么，经历足够长的时间（远大于“高速”经过壕沟的时间，但在日常生活“很短”（日常生活中可以近似看做为“刚体”的物体的形变恢复时间）），那么坦克的形变是依然能恢复的。

而实际上，对于日常生活中近似看做刚体的且相对地面静止的物体，如果我们让它受到的合外力突然不为0，并在这一足够小的时间间隔内考察它，那么它也是有形变的，只是由于这时间过小，而在日常生活中被我们所忽略。

所以，实际上无论是在K 系还是K ’系中，坦克的性质并没有改变，只是由于在K 系中我们考察的时间过短而观察到了日常生活中被忽略的短暂形变。

3，计算下面大致计算一下坦克的形变程度：取坦克为0.6c ，坦克与壕沟长2米，那么把坦克的已脱离壕沟近端的底面的部分看做相对于壕沟近端底面作自由落体运动，则由221,26.0gt h l t c =∆==×计算得该部分会下降16105−×米，远小于一厘米，那么若取壕沟远端比近端低1厘米（已经远大于16105−×米），且不考虑坦克落地时可能的损毁，则坦克便不会与壕沟远端相碰，而是安然无恙。

那么这（不相撞了）是否会导致矛盾呢？即在K 系看来坦克比壕沟短因而掉落，在K ’系看来坦克比壕沟长因而不掉落？答案是显然的：这并不会导致矛盾，因为K 系中的“掉落”实际上正是前面计算的“16105−×米”，因为时间过小，所以坦克不会陷到壕沟底部而是到达了另一端。

而且，如果并不改变壕沟的相对高度，而是把壕沟远端的材料由坚硬的刚体（如岩石）改为柔软的棉花，使撞上的火车不会碰碎，也并不会导致K 系与K ’系观察结果不同的矛盾。

原理也是相同的，在此不加赘述。

4，关于高速运动的流体既然在接近光速时刚体会产生不同低速下的现象，那么如果流体的运动速度接近光速，其性质会如何变化呢？比如流体由于而产生的粘性是会变小还是变大？如果该流体带有电荷，如等离子体，则应该更加复杂。

三，引力场钟慢与狭义相对论钟慢的比较在狭义和广义相对论中，课程中涉及了三种关于钟变慢的现象。

一是洛伦兹变换所显示的高速运动物体的钟慢效应（一切物理、生化过程“变慢”），二是“同时的相对性”中因位置不同而钟的时刻不同，三是广义相对论中因钟位于引力场中的不同位置而导致钟的快慢不同。

下面分别从现象和理论来源加以比较。

现象上，粗略地说，第一种和第三种都是一秒与一秒之间间隔的长短变化了，而第二种只是不同的钟时刻上不同，秒与秒之间的间隔却相同。

如果就机械表的的钟面来比喻，第一种和第三种是指针的角速度变化了，而第二种中，指针的角速度没变，只是不同位置的钟指针所指的相位不同。

理论来源上，第一种第二种都可由洛伦兹变换推导出，前者是将运动的K ’系中的一只钟在两个时刻与地面K 系上重合位置的两个钟进行比较，后者比较的则是运动的K ’系中前后（运动方向上）不同位置的几个钟。

两者都反映了时间与空间也与相对运动有关，而不是绝对的。

对于第三种，在爱因斯坦的《狭义与广义相对论浅说》的第23节《在转动的参考物体上的钟和量杆的行为》中，爱因斯坦的粗略化解释是：对于转动的圆盘，处在其外围的钟比靠内的钟随圆盘的运动线速度大，因而由上面所说的“第一种”中的钟慢效应而走得慢，而又因为转动圆盘上的钟是在一加速度场中的，所以可以不严密地推广到引力场。

实质上这是用狭义相对论中的钟慢效应，即上面所说的“第一种”来解释的，但显然并不严谨。

而实际上第三种还可以从另一角度粗略地理解：固有时（222222dz dy dx dt c ds −−−=）是不变的，而在引力场中的不同位置，空间弯曲程度不同，故dx,dy,dz 会改变，故dt 会改变，即钟的快慢因处于引力场中位置的不同而改变。

参考文献：[1]杨维纮《力学》中国科学技术大学出版社[2]爱因斯坦《狭义与广义相对论浅说》北京大学出版社[3]俞允强《广义相对论引论》北京大学出版社。