G a 0 ai2 x 1 ,0 u i a x 1 ,d x 1 w tip a
如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？
可由能量平衡来理解
F
裂纹扩展
G d ad U F d
逐渐放松保持力过程
wtipdadUFd
F
这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。
x2
x2
应力强度因子的计算：
K Mx l1 i0m 2x1
2i
x1,0
i M
1, II
2, I
3 III
Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function）
之前的解析函数构造时只关心裂尖处的渐近场及边界条件，Westergaard 应力函数方法将满足所有边界，并能给出全场解。
KQ
PQ BW
f
a W
应力强度因子求解
此前，只讨论了裂尖的渐近解，这里将讨论如何结合几何和载 荷条件来确定应力强度因子。主要有以下一些方法：
Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function） 权函数法（Weight function） 线性叠加法 （Principle of superposition）
GlimUAUB
a0 a
lim 1 a02a
a
0 32
x1,0u3dx1
lim1
a0a
0a32x1,0u3ax1,dx1
G
K2 III
2
针对I、II、III型裂纹
x2
x2
σ
u
x1
a
u
x1
a
i2
KMaO
2x1
x1
i 1, 2, 3 M II I III
u i u i G a llaiai m m 0x 01 2,1a1a0 a0u ai i2i 2xa 1x, 10,x 01 u,i uida x12 xu 1i , a dx 1x 1 , G a 复2 K 合I2x E1 型K K裂M I2I 纹a K 2I2 IIa 【 作4 业1 1 题I I I I I I 3-5】
此外，I型断裂最为危险。
G
K
2 I
E
实验测量应力强度因子
电测法 裂尖应变
光弹法
裂尖主应力
数字图像相关（Digital image correlation） 热弹性法（Thermoelastic Method）
裂尖位移场
裂尖温度场
基于应力强度因子的断裂准则
实验测量KIC
安全
KI KIC 临界状态
I、II型裂纹
4F 0
应力函数 F R ezz zd z
应力场
11 Re2 z 22 Re2 z 12 Imz
位移场
2u1 Rez 2u2 Imz
34
3
1
Plane strain Plane stress
Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function）
首先假设固定位移加载
针对III型裂纹
x2
A
B
σ
x1
a
x2
u
u
x1
a
K IIIlx1 i m 0 2x1 32 x1,0
32 x1,0
KIII
2x1
u 3 u 3 + a x 1 , u 3 - a x 1 , = 2 u 3 + a x 1 ,= 2 2 K I I I a x 1 1 2
应力强度因子KI,II,III与G之间的关系 G 与裂纹延伸时能量的变化有关
GUe 1Ue
A B a
KI,II,III仅与裂纹尖端区域的场强度有关
KKIII KIII
lim
r0
2r
1222
r,0 r,0
32 r,0
KI,II,III与G之间的关系?
George Rankine Irwin
G.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).
KIC 材料的断裂韧性 （Fracture toughness）
ASTM Single edge notch bend (SENB)
Compact tension (CT)
平面应变
B
2.5
K IC y
2
a
2 .5
K IC y
2
Crack mouth opening displacement (CMOD)
在前面的平面问题求解中,需要确定两个解析函数(z)和(z) ，其实在对称和
反对称特例下，可利用Westergaard函数进一步简化为一个解析函数的求解。
以I型问题为例：
F R z e z z d z
12 x1， 0＝ 0 x1 ,利用了对称性
2FF,
I z m z z I z m z z 0
σ
x1
a
u
a u
G KI2 KI2I
K2 III
x1
E 2
平面应变断裂韧性：
能量释放率和应力强度因子关系是假定裂纹呈直线延伸下得
到的。
G KI2
KI2I
K2 III
E 2
在II型和III型加载下裂纹扩展往往会发生拐折和分叉。对很
多材料的实验观察表明，裂纹实际的扩展路径会逐渐转向为I
型断裂占优的路径。
u3 r1uˆ3
ui 0 asr 0
为什么有如此渐近的形式？
分离变量法 u3r,Rru ˆ3
2u3 2 rR 2u ˆ31 r R ru ˆ3rR 2 2u ˆ2 30
12
r2 2Rr R1 R r2 Rr uˆ3
2uˆ3
2
0
12
M.L. Williams. On the stress distribution at the base of a stationary crack. Journal of Applied Mechanics 24, 109-115 (1957).
大家好
第三章：线弹性断裂力学
断裂模式及对称性分析 三型裂纹裂尖场的渐近解
复变函数（回顾） 三型裂纹裂尖场的解
应力强度因子K K-G关剪切问题（一个相对简单的问题）
3, 0
3
1 2 u3,
3 23
整理可得调和方程（或由Navier方程直接简化）
渐近解
2u3 0
2u3 2 ru231 r u r3r12 2 u2 30
x 2 0
x 2 0
zzz A A为实常数 x20
u v u v x y y x