应力强度因子断裂与损伤力学应力强度因子数值计算方法综述2013年6月第一章应力强度因子求解方法概述含有裂纹的工程结构的断裂力学分析一直是一个重要问题，在断裂力学理论中应力强度因子是线弹性断裂力学中最重要的参量。

它是由构件的尺寸、形状和所受的载荷形式而确定。

由于裂尖应力场强度取决于应力强度因子，因此在计算各种构件或试件的应力强度因子是线弹性断裂力学的一项重要任务。

由于应力强度因子在裂纹体分析中的中心地位，它的求解自断裂力学问世以来就受到了高度的重视。

迄今为止，已经产生了众多的理论和致值解法。

70年代中期以前的有关工作在文献中已有相当全面的总结，近20年来，求解的方法又得刭了明显的发展与完善。

下文将穿透裂纹问题(二维)与部分穿透裂纹问题（三维）分开讨论。

第二章 二维裂纹问题2.1 复变函数法由Muskhelishvili 的复变函数法，应力函数为：_])()()([2/1)]()(Re[z z z z z z z z χψψχψ++=+=Φ平面应变情况下的应力与位移为： )]('Re[42222z yx y x ϕφφσσ=∂∂+∂∂=+ )]('')(''[22z z z i xy y x χϕτσσ+=+-)](')('[21)(243x z z z iv u χϕμϕμμ+--=+ 可以证明，在裂纹尖端区域：)]('lim[220z z z iK K K I ϕπ-=-=∏由上式可见。

由于k 仅与)(z φ有关，因此只需确定一个解析函数)(z φ，就能求得k I ，这一方法一般只能用来解无限体裂纹问题。

对于含孔边裂纹的无限大板，通常可利用复变函数的保角映射原理来简化解题过程。

如采用复变（解析）变分方法，则可求解具有复杂几何形状的含裂纹有限大板的应力强度因子。

2.2 积分方程法弹性边值问题可以变为求解下列形式的积分方程：)())(()().,(r f dt t b a t t P t r M -=--⎰ 由积分方程解出沿裂纹的坐标的函数，便能直接求出应力强度因子k 。

这个积分方程在有些特殊情况下可用普通的Gauss-Chebyshellr 积分或它的修正形式来求解。

2.3边界配置法边界配置法是求解各类边值问题的一种半解析半数值方法。

用应力函数法求解二维裂纹问题，关键是选择合适的满足全部边界条件的双调和应力函数，而对有限体或裂纹分布较复杂的情况，封闭形式的应力函数是很难选取的。

边界配置法克服了这一困难，它的基本思路是选择以级数展开形式的函数作为满足双调和方程和裂纹面边界条件的应力函数，通过边界条件来确定含有限项的级数中的待定系数。

这些待定系数可以通过求解满足边界上的应力，载葡或位移的一组线性代数方程而确定。

求解中可以在指定点上精确地满足，也可以在最小均方差的意义上满足边界条件。

这样得到的级致解一般能精确满足域内的给定条件，并且近似地满足其余边界上的条件。

在裂纹问题的边界配置法中有两种基本的应力函数可供选择，即Williams 的应力函数和Muskhelishyili的复变应力函数，从发展过程看，前者一般用在边缘裂纹问题中，后者可用于内埋裂纹与边缘裂纹的情况。

边界配置法的求解精度较高。

它的不足之处是：对于不同类型的裂纹问题，应力函数必须改变。

而建立这些新的应力函数的工作量将是很大的，对于较复杂的几何与载荷情况，应力函数所应满足的边界条件很难确定，另外，解的收敛性还没有得到严格的证明。

2.4边界力法边界力法通过利用无限体中有限数量的集中力和集中力矩的叠加来求解边值问题。

这种解法以无限体中集中力和集中力矩的弹性解为基本解，对于不含裂纹的板，基本解取Muskhelishyili的解，对于含裂纹的板，则取Erdogan的解作为基本解。

由于Erdogan的解精确地满足了裂纹面应力为零的条件，所以裂纹面就不再需要作为边界的一一部分加以考虑。

因为基本解满足了物体内部的所有弹性力学方程，余下所需满足的条件只是边界条件。

这些边界条件则是通过在相应于真实裂纹体的假想边界上施加一系列的集中力和集中力矩来满足的，先把假想的边界离散化为一组线段，在每一段的中心，在离开假想边界处加上一对集中力和力矩，这些力和力矩的值可通过近似地满足边界条件得以确定。

与其他数值方法相比，边界力法有其明显的优点。

由于这一方法已精确地满足了裂纹面上的边界条件，所以它不需要像边界元法那样把裂纹面视为边界的一部分。

另外，它也克服了边界配位法中所需要的对每一类裂纹问题都要建立新的应力函数的缺点。

这种解法只要较小的自由度就能达到相当高的精度。

因此它在求解几何形体复杂的裂纹向题中有着明显的优点，但在处理复杂载荷的能力方面，则远非如权函数法那样灵活。

2.5权函数法权函数法是一种求解在任意受载条件下裂纹应力强度因子的高效方法。

这种解法的高效性在于它把影响应力强度因子的两个因素，即载荷与几何，作了变量分离。

权函数仅反映了裂纹体的几何特性，它可以根据一种受载情况下的已知解确定。

一经导出，它就能被用来不受限制地求解任意加载条件下的k 值，求解中只需作一个积分运算：dx x x a m K a )().,(0σ⎰=式中m(a,x)为权函数，)(x σ为无裂纹体中假想裂纹处的应力分布。

除了灵活通用，简单经济等特点外，这一方法所得的结果有高的可靠性。

2.6 有限元法有限元法在断裂力学中有着非常广泛的应用，它不受解析方法常遇到的因裂纹体几何或载荷的复杂性的限制。

这种方法的基本思路是用一系列离散化的，区段连续的场变量来对任何连续的场交量作逼近。

这些区段称为单元，单元间由结点互相连结。

因为单元内的场变量的变化规律是未知的，所以要用某些近似函数来描述它们在单元内的行为。

这些近似函数称为插值函数。

求解以有限矩阵形式出现的场的方程，便能得到整个系统的单元结点的场变量值，进而确定单元内的变量值，关于这一方法本身的理论可另见有关专著，这里只对利用有限元法求解裂纹体应力强度因子作一简单介绍。

除了极少数特殊设计的专用程序能在有限元输出结果中直接给出应力强度因子k 以外，一般的有限元计算结果都需要再通过一定的中间运算才能最终确定k 值，目前在文献中用有限元法求解应力强度因子大致可以分成直接法和间接法两种，直接法是指由有限元计算输出的应力或位移求k 值。

间接法则是通过有限元求出某些中间量，进而导出k 值。

2.6.1 直接法常用的直接法一般有以下三种：(l)采用非奇异元的位移法有限元计算所得的结点位移，通过近裂纹尖端区位移与应力强度因子之间的关系，求得一组应力强度因子值。

一般建议用由裂尖起始的，沿θ为常数(通常取θ=180)的射线上的结点位移。

在裂纹面上取若干结点的位移，作出k-r/a 的关系图。

在r/a=0的小区域内，由于采用常规单元体体现不了裂纹尖端的奇异性，可能会出现k 的异常变化，为了提高求解精度，可将k-r/a 的直线段外延到与纵轴k 的交点，交点的值即为所求的k 。

(2)采用非奇异元的应力法与位移法类似，可利用裂尖区应力场与应力强度因子的关系求k 值。

)(2θπσij ij f r K = 以有限元结点或高斯点的应力值代入上式。

并采用与位移法类似的由k-r/a 直线段外推到，r/a=0，便能确定应力强度因子值。

对于基于位移假设的有限元解法，由干位移的计算精度比应力的精度高，而且裂尖区应力的奇异性在常规元中又不能体现，所以通常都是由位移解来导出应力强度因子值。

(3)裂尖奇异元用常规的非奇异元来求解裂纹问题的一大困难是需要用很细的网格，即大量的自由度，才能使应力强度因子解达到一定的精度水平，为了压缩计算工作量，发展了各类具有r /1奇异性的裂尖奇异元，这些奇异元自身所具有的应力与应变r /1奇异性使得用较小的自由度便能达刭一定的求解精度，然而这些奇异元在某些方面也有着不足之处，如：缺乏刚性位移，与常规元不易协调，在通用的结构分析有限元程序中并不具备，因此应用起来较麻烦等等。

后来出现的一种新的奇异元则克服了以上的不足，这种新的奇异元就是由广为使用的二次等参元退化而成的四分之一结点奇异元。

四分之一结点的四边形单元的这种奇异性只在单元的两个侧边上才存在。

而在单元内部，任一条自裂尖起始的射线上奇异性并不存在。

然而，如果把四边形的一条边压缩成位于裂尖的一个点，并把两侧边的中结点向裂尖移到四分之一边长的位置，则沿自裂尖出发的任一条射线，这种经畸变后的裂失单元通常称为畸变的（或退化的）四分之一结点奇异元。

由于一般的有限元程序中都含有8结点二次等参元（三维则为20结点六面体等参元），所以采用这种四分之一结点奇异元能够在一般的有限元程序中实现，且不需对程序作任何修改。

所需要做的只是在输入文件中写进畸变后单元的结点坐标（而其他类型的裂尖奇异元法则需要有限元程序本身就具有这些裂尖奇异元，这就大大地限制了它们的使用范围）。

另外，这种四分之一结点奇异元不存在与周围的非奇异元不相容的问蹲。

由于这些明显的优点，这种裂尖元得到了非常广泛的应用。

2.6.2 间接法应用直接法遇到的一个主要问题是：由于裂纹尖端的奇异性，应力在r=0时以r/1。

方式趋于无穷。

为了保证解的精度，在用常规非奇异元时需要把网格划得很细，从而导致自由度和计算量的增加，解决这一问题除了上面已讨论的奇异元外，还可以采用各种间接法，如能量释放率，J积分，刚度导数等方法间接地导出应力强度因子。

(1)能量释放率法线弹性断裂力学的理论已证明，应力强度因子k与裂纹体能量释放率G之间有如下关系。

K'=EG=EE'2ν-)1/(计算G的一个简单方法是进行两次有限元计算，在一个计算中取裂纹长度为a，在另一个计算中释放紧靠裂纹尖端的一个结点，用公式计算应变能。

取两个计算之差值，可得能量释放率,由此便能得到k值。

这种方法的优点是对网格细化的程度要求较低。

(2)J 积分法J 积分为应力强度因子的求解提供了另一种数值方法，积分是沿着包围裂纹尖端的某路径的一个线积分，其定义是⎰∂∂-=).(ds xu T wdy J 式中w 为应变能密度，T 为积分路径的外法线方向的面力矢量，U 为位移矢量，ds 是沿积分路径的弧长。

Rice 已经证明了J 积分的路径无关性。

这一特性为J 积分的计算带来很大方便。

由于积分路径可选在近裂尖区以外，因而就降低了对裂尖区单元及其密度的要求。

在线弹性条件下，J 积分与应变能释放率G 是等同的，因此由J 积分可得应力强度因子k 。

为了计算J 积分，必须有一个根据其定义式建立的一个专用的计算机后处理程序,并要有一个描述数值积分路径的子程序。

如果在计算机中采用的是二次等参元，则最好选择通过单元Gauss 点（而不是结点）的路径。