有x
s 1 x
e x e ,
a 1 x
而积分

1
0
x
a 1
e
x
dx 收敛.
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7
2015年9月8日星期二
§18.五.欧拉 (Euler)积分
对积分 I 2 1 x e dx ,
s 1 x

x e x e ,
s 1 x
b 1 x
§18.五.欧拉 (Euler)积分
二. Beta 函数 B( p, q) ——Euler 第一型积分 1．Beta函数及其连续性 称( 含有两个参数的 )含参积分
为Euler第一型积分. 它确定一个二元函数,
称该函数为 Beta 函数, 记为 B( p, q) , 即
p 1 q 1 x ( 1 x ) dx B( p, q) = 0 1
§18.五.欧拉 (Euler)积分
5. －函数的其它形式 x pt ( p 0) , 代入 有 1） 令 s 1 x s s 1 pt x e dx p t e dt ( s ) = 0 0

因此,
2)．在 ( s) e x x s1dx 中，作代换 x u 2，
得 ( s ) 的一个
.
16
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§18.五.欧拉 (Euler)积分
例 2 计算积分 0
t x2

x e
2n
x2
dx ,其中 n Z
解
1 1 1 t I t e dt (n ) 2 0 2 2 1 1 1 1 1 (n 1) (n )(n ) 2 2 2 2 2
§18.五.欧拉 (Euler)积分
本节介绍用含参广义积分表达 的两个特殊函数 , 即 ( s) 和 B( p, q) . 它们统称为 Euler 积分. 在积分计算 等方面, 它们是很有用的两个特殊函 数.特别在概率和数理统计中经常使用.
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而积分


1
x b1e x dx 收敛.
由 M —判法 , I1，I2 都一致收敛 ,

积分


0
x s 1e x dx 在区间 [a, b] 上一致收敛 .
即，在（ 0， ）上内闭一致收敛 .
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§18.五.欧拉 (Euler)积分
第二型积分定义了 s ( 0 , ) 内的一个函 数 , 称该函数为 Gamma 函数 , 记为 ( s) , 即
(s) e x dx (s 0)
x s 1 0
函数是一个很有用的特殊函数.
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§18.五.欧拉 (Euler)积分
设 I1
(1) 当 s 1时, I1 是常义积分;
当 0 s 1 时, e x
x s 1
0 e
1
x
x
s 1
dx,
I2
1

e x x s 1dx,
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§18.五.欧拉 (Euler)积分
例 1 求 ( 4.85 ) , ( 0.85 ) , ( 2.15 )
(查表得 ( 1.85 ) 0.94561 .)
解 ( 4.85 )
3.85(3.85) 3.85 2.85(2.85) 3.85 2.85 1
而 1 s 1, 根据比较审敛法 2, I1 收敛. s 1 x ( 2) lim x 2 (e x x s 1 ) lim x 0, x x e ( s )
根据极限审敛法 1, I 2 也收敛 .
3.85 2.85 1.85 0.94561 19.19506
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§18.五.欧拉 (Euler)积分
( 1.85 ) 0.85(0.85) (1.85) 0.94561 ( 0.85 ) 1.11248 0.85 0.85
2
§18.五.欧拉 (Euler)积分
一 Gamma 函数 ( s) —— Euler 第二型积分
1.定义:无穷限含参积分
（s）

0
x e dx
s 1 x
( 定义域： s 0)
结构特点:
1).积分区间为无穷;
2).当 s 1 0 时被积函数在 点 x 0 的右邻域内无界.
p , 0 q }
不难验证, B 函数在 D 上内闭一致收敛. 又被积函数在 D 内连续, 因此 , B 函数是 D 内的二元连续函数.
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§18.五.欧拉 (Euler)积分
2.函数的对称性: 证
1
B( p, q) B(q, p)
作类似地讨论,可得积分 0

(x e )s dx 也在区
s 1 x
间 ( 0 , ) 内闭一致收敛.于是可得如下结论:
( s) 的连续性: (s) 在区间 ( 0 , ) 内连续 .
( s ) 的 可 导 性 : ( s ) 在 区 间 ( 0 , ) 内 可 导 ,
0
.
B( p, q) x p 1 (1 x)q 1 dx
(1 t )
t
0 1 q 1
x 1t
0
p 1 q 1
(1 t )
1
t
dt
p 1
dt B(q, p)
由于
B 函数的两个变元是对称的 , 因
此 , 其中一个变元具有的性质另一个变元 自然也具有.

1
0
x p 1 (1 x)q 1 dx
( p0 , q0 )
( p 0, q 0)
当
p
和 q 中至少有一个小于 1 时,该积分为瑕积分.
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§18.五.欧拉 (Euler)积分
设 D { ( p, q) | 0
s 1 x 0



0
于是, 利用递推公式得:
(2) (1 1) 1(1) 1 (3) (2 1) 2(2) 2 1 2 ! (4) (3 1) 3(3) 3 2 ! 3 !
…………, 2015年9月8日星期二 12
由 (1), ( 2) 知
0

e x x s 1dx 对 s 0 均 收 敛 .
o
s
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§18.五.欧拉 (Euler)积分
综上 , s 0 时积分


0
x s 1e x dx 收
Euler
敛 . 称该积分为 Euler 第二型积分.
证 (s 1) 0 x e dx 0 x s (e x )dx
s x
x e
s x 0
(1) x e dx e dx 1
11 x x 0 0

s x e dx s x s 1e x dx s( s)
且
( s)

0
s 1 x s 1 x ( x e )dx x e ln xdx 0 s
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§18.五.欧拉 (Euler)积分
同理可得:
( s) 在区间 ( 0 , ) 内任意阶可导,
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§18.五.欧拉 (Euler)积分
(2)
( s ) 在区间 ( 0 , ) 内闭一致收敛.
即在任何 [a, b] ( 0 , ) 上 , ( s) 一致收敛 .
s 1 x I x e dx , 0 a b 因为 时, 对积分 1 0 1
(1.15) ( 2.15 ) 2.15 1 (0.15) 1 (0.85) 2.15 1.15 2.15 1.15 0.15 0.94561 2.54967 2.15 1.15 0.15
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§18.五.欧拉 (Euler)积分 一般地有
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1) n !
Z 可见,在 上, ( s) 正是正整数阶乘的表达式 .
若定义 s ! (s 1) , 易见对 s 1 , 该定义是 有意义的. 这样我们自然地把正整数的阶乘延拓到 了 ( 1, ) 内 的 所 有 实 数 上 , 于 是 就 有 0! (0 1) (1) 1 , 可见在初等数学中规定 0! 1 是很合理的.
§18.五.欧拉 (Euler)积分
欧拉积分
一．Gamma 函数 ( s) —— Euler 第二型积分
二.