2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：上海建桥学院参赛队员(打印并签名) ：1. 张训一2. 刘雅静3. 赵明明指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：陈苏婷（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：关于嫦娥三号的着陆轨道及最优控制策略问题的研究摘要我国嫦娥三号成功着陆月球，引发了我们对其着陆轨道和最优控制策略的关注和探讨。

首先，我们由开普勒第一、二定律及机械能守恒，确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置分别在月球北极正上方15km和南极上方100km，在建立的中的坐模型中标分别为 A（0,1794.513），B（0，–1794.513）；以及嫦娥三号相应速v A 1.74km/s （垂直于纵轴沿横轴正方向），度的大小与方向，=v B1,701km/s （垂直于纵轴沿横轴负方向）。

=其次，在确定飞船从运行轨道转入着陆轨道时，根据各项指标的限制，建立制动火箭并在相应的变轨阶段使用，即给嫦娥三号一个与运行轨道方向相反的附加速度，使嫦娥三号由运行轨道转入椭圆形的着陆轨道。

其中：（1）在第一阶段着陆准备轨道的着陆点，制动火箭得到附加速度而进入着陆轨道；（2）第二主减速阶段采用非线性变结构控制与状态反馈相结合的控制方法，使软着陆过程的燃料消耗变化率达到最低；（3）在第三阶段快速调整阶段中，根据第二阶段过程中所建立的模型，计算嫦娥三号的发动机的实时推力大小；（4）在第四阶段粗避障阶段，于四次多项式制导律的基础上，提出一个改进的多项式制导算法,通过设计每个方向的约束条件，将安全着陆点置为制导目标中的着陆点,通过姿态机动实现推力指向变化,进而实现并完成粗避障；（5）在第五阶段细避障阶段中，将悬停段选取的安全着陆点置为制导目标点，利用外环加内环制导方式及避障下降过程中实时跟踪目标指令的操作,控制避障段的终端状态，最后增加了速度机动逻辑，保证了避障平移速度来节省推进剂的消耗；（7）在第六阶段缓速下降阶段中，缓速下降也采用外环加内环制导方式,水平方向速度控制目标为零,位置控制目标为进入缓速下降段时的着陆器位置；利用伽马敏感器和触地敏感器测量信号的关机策略,另外基于加速度测量信息的关机备份策略，以确保着陆后主发动机的关闭。

最后，我们利用敏感性系数来分析着陆轨道和控制策略相应的敏感性分析，并分析了其误差。

关键词：制动火箭非线性变结构控制四次多项式制导律外环加内环导速度机动逻辑敏感性系数一问题重述2013年12月6日嫦娥三号已经成功降轨进入预定的月面着陆准备轨道，嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆。

在实施软着陆之前，嫦娥三号还将在为着陆准备的一条近月点高度约15公里、远月点高度约100公里的椭圆轨道运行。

着陆轨道从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段。

嫦娥三号将在近月点15公里处以抛物线下降，相对速度从每秒1.7公里逐渐降为零。

嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。

要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

由此，引出建立数学模型来解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

二问题分析2.1问题一的分析嫦娥三号的运动遵循开普勒三定律,在远月点和近月点之间嫦娥三号运动的轨迹是一个椭圆，且在远月点和近月点上嫦娥三号只受到月球对其的万有引力。

由开普勒第一定律，月球的地心位于椭圆轨道的焦点上，远月点和近月点之间的连线是椭圆的一条长轴。

以长轴的中点为原点，长轴为纵轴建立直角坐标系，由已知数据，求出远月点和近月点在坐标系中的坐标。

根据开普勒第二定律和机械能守恒定律，得到嫦娥三号在远月点和近月点的速度，由万有引力定律，在远月点和近月点的速度方向是其轨道点的切线方向，与椭圆轨道的的长轴垂直且方向相反。

2.2问题二的分析要确定嫦娥三号的着陆轨道，首先要知道嫦娥三号近月点时的位置，即在距离月球北极15km处的位置，而嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（如下图所示）；飞船从运行轨道即在大于15km处转入着陆轨道15km 处,可以采用这种方法是：嫦娥三号附加速度的方向与原来的轨道速度方向相反。

因此将运用机械能守恒定律和开普勒定律进行分析和讨论。

如图2所示,由于制动火箭的起动,使宇宙飞船获得一个附加速度乙v,飞船由运行轨道转入椭圆形的着陆轨道。

若选择的着陆点为A,则该点应为椭圆轨道的近地点,由开普勒第一定律可知,月球中心应是椭圆轨道的一个焦点。

对于嫦娥三号在6个阶段的最优控制策略，这6个阶段分别包括着陆准备轨道段，主减速段，快速调整段，粗避障段，精避障段和缓速下降阶段。

要使嫦娥三号达到最优控制，必须要保证它能够实现在6个阶段中实现燃料消耗的变化率最小，从而能够达到最优。

理想情况下的最优控制方案流程可简单描述为开始时，让探测器自由下落，当下落到某个状态时启动发动机，以最大推力对火箭减速。

当速度减小到零时正好到达地面。

然而，这种控制方案对切换时机的准确程度要求极高，同时不允许存在任何形式的干扰，而这在实际环境中是不可能实现的。

因此，我们需要对这6个阶段逐一突破。

2.3 问题三的分析解决问题三的方法主要是根据敏感性系数来判断敏感度，不确定因素在-20％～ 20％之间波动时，说明轨道设计的模型与实际情况相似，模型抗干扰能力强。

而敏感性系数大于0的情况下，说明这个模型是可行的，根据提出的这条思路分析模型的敏感性。

同时，嫦娥三号的实施也依赖于对着陆过程中误差源的详细分析，其核心思想是将飞行器发动机的各项技术指标的误差作为待考察的随机误差源，通过计算这些误差随轨道运动的传播进而评估它们对飞行轨道的影响。

利用协方差来分析向月飞行轨道误差。

三模型假设（1）嫦娥三号做椭圆轨迹运动时，假设月球是一个质点。

（2）假设嫦娥三号在近月点和远月点只受万有引力的作用。

（3）起动制动火箭，其提供的附加速度大小保持不变。

（4）在嫦娥三号软着陆过程中，无其它能源的损耗,只有行进过程中燃料的消耗。

四定义和符号的说明v A：嫦娥三号在近月点A的速度大小；v B：嫦娥三号在远月点B的速度大小；m: 嫦娥三号的质量；M：月球的质量；：制动火箭提供的附加速度；：嫦娥三号沿原运行轨道运行时的速度；：嫦娥三号在近地点A时的速度；R：地球半径,即近地点A到地心的距离；K：偏二甲肼燃料燃烧后喷出气体相对于嫦娥三号的速度；r tGz，v Gz和a tGz：制导系的航向位置、速度和加速度制导目标；r Gz和v Gz：制导系的航向位置和速度；t go：制导剩余时间。

五模型的建立和求解5.1问题一模型的建立和求解如图1 所示, 嫦娥三号的运动的轨道为椭圆, 月球位其中的一个焦点F 上, 椭圆的半长轴为a , 半短轴为b , 半焦距为c, 月球质量为M .嫦娥三号质量为m , A ，B 分别其运动的近月点和远月点, 以v A 和v B 分别表示经这两点的速度, 由于速度沿轨迹的切线方向,可知v A 和 v B 的方向均与椭圆的长轴垂直,且A ，B 两点距月球球心的距离分别为L A =a-c 与L B =a+c, 在A ，B 两点分别取极短的相等时间t,则嫦娥三号与月球连线在这两段时间内扫过的面积分别为S A =21v A *t*L A ，S B =21v B *t*L B 。

根据开普勒第二定律:嫦娥三号与月球连线在相等的时间内扫过相等的面积，故有S A =S B ，代入得：v B =c a ca +-v A （1）嫦娥三号的总机械能等于其动能和引力势能之和, 故当嫦娥三号分别经过A ，B 两点时的机械能为： L v L v E A A A A A GMm m GMm m -=-+=2221)(21 , (2) L v L v E B B B B B GMm m GMm m +=-+=2221)(21 , (3)由于嫦娥三号在运动过程中受万有引力作用, 所以遵循机械能守恒定律, 故有： E A =E B （4）将( 1） - (4) 式联立解得： ,)()(,)()(ac a GM c a a c a GM c a v v B A +-=-+= 经分母有理化并结合椭圆中c b a 222+=可得: ,a GM c a b v A ∙-= aGM c a b v B += 由题意知：2a=15+100+2R (单位Km ）c=a-R-15 (单位Km ）R 为月球平均半径：1737.013km ，M 为月球质量：7.3477×1022kg ，G 为万有引力常量：G=6.67x 1011- N ·m2 /kg2 。

因此：近月点和远月点的坐标分别为A （0,1794.513），B （0，–1794.513）则代入数据得：=v A 1.74km/s （垂直于纵轴沿横轴正方向）=v B 1,701km/s （垂直于纵轴沿横轴负方向）5.2问题二 模型的建立和求解5.2.1 着陆轨道的研究确定嫦娥三号的着陆轨道，建立一个制动火箭，使嫦娥三号获得一个附加速度彻以改变运行轨道的形状使着陆轨道与月球表面相切，以达到安全着陆的目的。