1.3 流体动力学
（四）柏努利方程的应用
计算流体输送机械的功率：
在1-1和2-2间列柏努利方程：
gZ
1

1 2 1 2
u1
2
p1

p2
we
gZ
2
u2
2

u 2
2

f
h
f
w e g Z
p



h
J/kg
功率 N e w e w
1.3 流体动力学 计算高位槽的高度：
2）随时间变化，为不 稳定流动，如图（关闭进水 管1）所示。
1.3 流体动力学 5.本节主要内容
掌握连续性方程和伯努利方程及相关概念
1.3 流体动力学
1.3.2 物料平衡——连续性方程
质量守恒原理：
1
进料速度=出料速度+积累速度
2
1.稳定流动的物料平衡：
2
2
2
2

s
单位质量流体具有的动能称比动能，mu2/2，[J/kg]
1.3 流体动力学 ⒊静压能：
设流体m、V→ i-i截面 (P、A)，则： 截面处的压力F=P· A， 流体通过A前进的距离 l=V/A 流体进入该截面所需功 =F· V l=P· 即：流体所具有的静压能=PV，单位为J，又称流动功。 单位质量流体所具有的静压能称比静压能： 比静压能=PV/m=P/(m/V)=P/ρ，单位为J/kg。
W W dm d 或 W i d W o d dm
i
0
1.3 流体动力学
例1： 如图所示，管路有一段内径60mm的管1、一段管内径100mm 的管2及两段内径50mm的分支管路3a及3b连接而成。水以 2.55×10-3m3/s的体积流量自左侧入口送入，若在两端分 支管路的体积流量相等，试求各段管内的流速。
gZ
1

1 2
u1
2
p1

w e gZ
2

1 2
u2
2
p2

hf
－－稳定流动系统的机械能衡算式 或广义柏努利方程
1.3 流体动力学
理想流体（∑hf=0），无外功加入（We=0），则：
gZ
1

1 2
u1
2
p1

gZ
1 2
2

p
1 2
u2
2
p2

——柏努利方程式
或：
流体静止时：
u 0
h
p1
f
0
we 0
gz 1

gz 2
p2

即：
p 2 p1 g z 1 z 2
静力学方程
即：流体静力学基本方程式为柏努利方程的特例 ⒍P1、P2可同时用表压或绝压，但不能用真空度。
1.3 流体动力学 ⒎有关泵功率的计算：
定义：
有效功We：单位质量流体从输送机械获得的外功， J/kg； 泵的有效功率Ne：单位时间内输送机械对流体所做的 有效功，单位：W，kW； Ne = We · = We · W ρV 泵的轴功率N：[N] = kW 泵的效率：η η= Ne /N ×100%
1.3 流体动力学
解： 由连续性方程：
u 1 1 A1 u 2 2 A 2 u 3 3 A 3 u 2 2 A2 u 3 3 A3
由于两分支管路质量流量相等
联立以上两式得： u 1 1 A1 2 u 2 2 A 2 2 u 3 3 A 3
u1 1 d 1 25 2 . 62 u2 d 2 2 . 24 22 2
1.3 流体动力学 【例1】
水在如图所示的虹吸管内作定态流动，管径没有变化，水 流经管路的能量损失可以忽略不计，试计算管内截面2-2’、 3-3’、4-4’、5-5’处的压强。大气压为1.013×105Pa，流体 密度ρ= 1000kg/m3。
1.3 流体动力学 【例1解】
解：为计算管内各截面的压强，应首先计算管内水的流速。先在贮槽水面1-1'及管子 出口内侧截面6-6'间列柏努利方程式，并以截面6-6'为基准水平面。由于管路的能量 损失忽略不计， 即 h =0，故柏努利方程式可写为
连续性方程在解决变径及分支管路问题的过程中 十分重要。 对于不可压缩性流体可以采用不同的连续性方程 的形式； 对于可压缩性流体仅能用的连续性方程的质量形 式； 所以在应用连续性方程是其质量形式是保险的。
1.3 流体动力学
1.3.3 总能量衡算
（一）流动流体包含的机械能
1.位能：质量为m的流体自基准水平面升举到高度Z所作 的功，mgZ ，单位：J 单位质量流体(1kg)具有的位能称比位能，gZ，[J/kg] 2.动能：质量为m，流速为u的流体所具有的动能为 1 mu 2 单位 1 mu kg . m N . m J
f
gZ 1
u1 2
2

p1

gZ
2

u2 2
2

p2

式中 Z1=1m Z6=0 p1=0（表压） p6=0（表 压） u1≈0将上列数值代入上式，并简化得
G=W/A=Vρ/A=uρ
1.3 流体动力学
3.管径的估算 :
d

4V π u
一般：液体：u = 0.5～3m/s 气体：u = 10～30m/s 选定流速u 计算d 计算实际流速u实
圆整（规格化，去标准管径）
1.3 流体动力学 4.稳定流动与不稳定流动：
1）稳定流动：若与流动有 关的各参数只随位置变化， 不随时间变化，为稳定流动， 如图（打开进水管1）所示。
以单位质量流体为基准，单位:J/kg
gZ
1

1 2
u
2 1

p1

w e gZ
2

1 2
u
2 2

p2

hf
以单位重量流体为基准，单位：m液柱
Z1 1 2g u1
2
p1
g
H
e
Z
2

1 2g
u2
2
p2
g
H
f
位压头
动压头
静压头
有效压头
压头损失
以单位体积流体为基准，单位：Pa
例2： 管路由一段内径50mm的管1及两段内径分别为35mm和 30mm的分支管路2、3连接而成。蒸汽以25m/s的速度通 过1管路。出口处蒸汽速度分别为多大才能保证两分支管 路中蒸汽质量流量相等。蒸汽密度及管径在各管截面的 分布如下表 编号 管径 密度 mm kg/m3 1 2 3 50 35 30 2.62 2.24 2.30
在1-1和2-2间，列柏努 利方程：
gZ
1

1 2 1 2
u1
2
p1

p2
we hf
gZ
2
u2
2

h Z1 Z2
p
g

u
2

h
g
f
2g
m液柱
1.3 流体动力学 计算输送需要的压力：
在1-1和2-2间，列柏努 利方程：
gZ
1

1 2 1 2
u1
gZ
u
2


常数
单位：J/kg
1.3 流体动力学
（三）柏努利方程式的分析与讨论
1.应用条件：
稳定连续流动，不可压缩性流体（满管流）；
但对于压力变化不大的情况（│(P1-P2)│/P1＜ 20%）,可以认为气体管路也遵循柏努利方程， 此时取ρm=(ρ1+ρ2）/2。
1.3 流体动力学 ⒉柏努利方程的不同形式：
Z 1g 1 2 u1 p1 p e Z 2 g
2
1 2
u2 p2 p
2
f
1.3 流体动力学 ⒊总比能和流向判断：
总比能： 柏努利方程式：
E gz p


u
2
J/kg
2
E 1 We E 1 h f
无外功加入时：We=0，于是：E1 = E2 + ∑hf 实际流体： ∑hf＞0 → E1 ＞ E2 自流管路，流向判断的依据
体积流量与质量流量的关系：W=Vρ
1.3 流体动力学
2.流速：
1）（平均线性）流速：单位时间内流体在流动方 向上流过的距离，以u表示，单位：m/s。 注：流速沿径向是变化的，管中心流速最大，靠近壁 面处最小（为零）。所以，通常取同一截面上各点流 速的平均值，称为平均流速，简称流速：u=V/A
2）质量流速 单位时间内流体流过管路单位截面积的质量，以G表 示，单位：kg/(m2· s)。
2
2
50 29 . 84 m / s 35
2
2
u1 1 d 1 25 2 . 62 50 u3 39 . 55 m / s 23 d3 2 2 . 3 30
1.3 流体动力学
由以上两个例子可以看出：
1.3 流体动力学
（一）流动流体包含的机械能
4.内能和热 热：单位质量流体通过时吸热或放热，以qe表示，单位 为J/kg ；规定流体吸热时取“＋”，放热时取 “－”。 ： 内能：分子运动的动能、分子间作用力产生的能量；单 位质量流体的内能以U表示，单位为J/kg；质量为m的流 体所具有的内能为m U
1.3 流体动力学
1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 概述 物料平衡－连续性方程 总能量平衡 机械能平衡－柏努力方程式