在临界值范围外时，初步判断有非平稳性。 • 常用计量分析软件都有给出序列相关图的功能
，因此运用相关图检验时间序列的平稳性非常 方便。
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三、平稳性的单位根检验
（unit root test）
1、DF检验（Dicky-Fuller Test）
X t X t1 t X t X t1 t
零假设 H0：=0 备择假设 H1：<0
可通过OLS法下的t检验完成。
• 但是，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样 本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的 t 检验无法使用。
• 白噪声（white noise）过程是平稳的： Xt=t ， t~N(0,2)
• 随机游走（random walk）过程是非平稳的： Xt=Xt-1+t ， t~N(0,2) Var(Xt)=t2
• 随机游走的一阶差分（first difference）是平稳 的： Xt=Xt-Xt-1=t ，t~N(0,2)
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• 自相关函数是以协方差函数为基础定义的k k / 0
，其中 k Cov(Yt ,Ytk )和 0 Var(Yt )分别为协方差和方 差函数。 • 因为只有时间序列的一个实现，因此不可能根 据随机变量协方差、方差的定义计算，只能用 样本，也就是时间序列观测值的时间平均代替 总体平均，时间矩代替总体矩，得到自相关函 数的估计。
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• 这个问题可以通过对平稳性概念的扩展解决。 • 方法是把数据的趋势部分看成先分离出来，然
后根据分离趋势后的纯随机部分判定平稳性。 • 例如一个时间序列t 时刻的随机变量可以表示
为Yt t t，其中t是一个平稳序列，那
么该序列去掉时间趋势 t之后的部分就是平
稳的，称为“趋势平稳” 。 • 趋势平稳时间序列中的时间趋势既可以是线性
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• 自相关函数最好的估计方法是样本自相关函数
：
ˆk
ˆk ˆ0
其中：
n
(Yt Y )(Ytk Y )
ˆk t 1
n
n
(Yt Y )2
ˆ0 t1 n
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• 对不同可以描绘出对应不同k的 ˆk的分布图形
，根据图形的特征判断时间序列是否平稳。 • 当样本自相关函数的值（对不同k）有许多落
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• 多数经济时间序列有上升或下降的趋势性，而 不是围绕不变水平波动。
• 例如图8.1.1b中的时间序列数据就是有明显的 上升趋势的时间序列数据。
• 不符合平稳性定义，但围绕稳定上升趋势的形 态与平稳数据是相似的，预测作用也相似。把 这种数据排除在平稳序列之外，平稳序列的应 用价值必然受到很大限制。
–例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势 （非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进 行回归也可表现出较高的可决系数。
2、平稳性的定义
• 假定某个时间序列是由某一随机过程 （stochastic process）生成的，即假定时间序 列{Xt}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一个 概率分布中随机得到，如果满足下列条件：
一、时间序列的平稳性 Stationary Time Series
⒈问题的提出
• 经典计量经济模型常用到的数据有：
– 时间序列数据（time-series data)； – 截面数据(cross-sectional data) – 平行/面板数据（panel data/time-series cross-section data)
• 如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过 取差分的方法而形成平稳序列。
二、平稳性的图示判断
• 平稳随机过程的均值和方差函数是常数，意味 着平稳时间序列的取值必然围绕一个水平的中 心趋势，以相同的发散程度分布。
• 根据这一点，可以从数据分布图形直接对数据 是否平稳进行判断。
• 例如当时间序列数据的连线图形出现类似图 8.1.1a的情况时，就肯定不是平稳时间序列， 因为这两种图形表明时间序列数据都没有不变 的中心趋势，或者说中心趋势是变化的，而且 也没有稳定的方差。
– 均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； – 方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； – 协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关，与
时间t 无关的常数；
• 则称该随机时间序列是平稳的（stationary)， 而该随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。 宽平稳、广义平稳
§8.1 Stationary Time Serial and Unit Root
Test
一、时间序列的平稳性 二、单整序列
• 经典时间序列分析模型：
– 包括MA、AR、ARMA模型 – 平稳时间序列模型 – 分析时间序列自身的变化规律
• 现代时间序列分析模型：
– 分析时间序列之间的结构关系 – 单位根检验、协整检验是核心内容 – 现代宏观计量经济学的主要内容
• 时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。 • 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。
• 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致 性”要求——被破怀。
• 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” （Spurious Regression）问题。
–表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的 相关性。
随机游走，非平稳
对该式回归，如果确实 发现ρ=1，则称随机变
量Xt有一个单位根。
X t ( 1) X t1 t X t1 t
等价于通过该式判断 是否存在δ=0。
• 通过上式判断Xt是否有单位根,就是时间序列 平稳性的单位根检验。
• 一般检验模型
X t X t1 t X t X t1 t
，也可以是非线性的。
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自相关图检验
• 原理：平稳时间序列过程的自协方差，或由协 方差计算的自相关函数，应该很小、很快趋向 于0，具有截尾或拖尾特征 。这些特征正是判 断时间序列平稳性的重要依据。
• 由于自相关是相对量指标，方便横向比较和建 立一般标准，因此通常利用自相关函数进行判 断。
• 利用自相关函数判断时间序列平稳性的首要问 题是计算自相关函数。