27.1 图形的相似 达标训练一、基础·巩固达标1.在比例尺为1∶40 000的工程示意图上，于年9月1日正式通车的南京地铁一号线(奥体中心至迈皋桥段)的长度约为54.3 cm ，它的实际长度约为( )A.0.217 2 kmB.2.172 kmC.21.72 kmD.217.2 km 2如图27.3－4，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC=12，则DE 与BC 的比是( )图27.1－4 图27.1－5A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.2∶3 3.(1)若5.0===f e d c b a ，则f d b ec a +-+-2323=__________； (2)若k xy zx z y z y x =+=+=+,则k=__________. 4.如图27.1－5，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是__________米. 5.图27.1－6中，两组图形是否是相似图形?图27.1－66.如图27.1－7，试一试，把下列左边的图形放大到右边的格点图中.图27.1－77.如图27.1－8，已知图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和∠α、∠β的度数.图27.1－8二、综合•应用达标8.矩形相框如图27.1－9所示，图中两个矩形是否相似?图27.1－99.判断下列各组线段是否成比例?(1)3 cm； 5 cm；7 cm； 4 cm；(2)12 mm；5 cm；15 mm；4 cm；(3)1 cm；5 mm；10 mm；2 cm.10.试将一个正方形纸片(如图27.1－10)分割为8个相似的小正方形.图27.1－1011.在如图27.1－11所示的相似四边形中，α比β大15°，求未知边x、y的长度和角度α、β的大小.图27.1－11三、回顾•展望达标12.我们已经学习了相似三角形,也知道:如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同,我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形,它们的边长,对角线等所有元素都对应成比例,就可以称它们为相似图形.现给出下列4对几何图形:①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形.请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由.13.定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.探究：(1)如图甲，已知△ABC中，∠C=90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.(2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割(如图1)；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割(如图2)，…依次规则操作下去，n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数)，设此时小三角形的面积为S n.①若△DEF的面积为10 000，当n为何值时，2<S n<3?(请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程)②当n>1时，请写出一个反映S n，S n，S n+1之间关系的等式(不必证明)－1图乙图1(1阶) 图2(2阶) 图3(3阶)参考答案一、基础·巩固达标1.在比例尺为1∶40 000的工程示意图上，于年9月1日正式通车的南京地铁一号线(奥体中心至迈皋桥段)的长度约为54.3 cm，它的实际长度约为( )A.0.217 2 kmB.2.172 kmC.21.72 kmD.217.2 km思路解析：可设这两地的实际距离为x cm (要注意统一单位)，根据比例尺=实际距离图上距离得54.3∶x=1∶40 000，解得：x=2 172 000(cm)=21.75(km). 答案：C2如图27.3－4，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC=12，则DE 与BC 的比是( )图27.1－4A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.2∶3 思路解析：DE 是△ABC 的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 答案：C 3.(1)若5.0===f e d c b a ，则f d b e c a +-+-2323=__________； (2)若k xy zx z y z y x =+=+=+,则k=__________. 思路解析：连等式时，可用比例系数(即公比)的办法解决. (1)由5.0===f e d c b a ，得到a=0.5b ，c=0.5d ，e=0.5f ，代入fd be c a +-+-2323中解得; (2)用“若n m d c b a ===Λ=k(b+d+…+n≠0)，则k nd b mc a =++++++ΛΛ”，但要注意只有当x+y+z≠0时才成立.本题中，还需考虑x+y+z=0的情况，此时x=－(y+z)，y=－(z+x)，z=－(x+y)， 所以k=－1.答案：(1)0.5,(2)21或－14.如图27.1－5，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是__________米.图27.1－5思路解析：相同时刻的物高与影长成比例，设树高为x米，则1.5∶1=x∶5，解得x=7.5答案：7.55.图27.1－6中，两组图形是否是相似图形?图27.1－6思路解析：比较两个图形的形状，第一对图形的形状不同，不相似；第二对图形都是三角形，但角的大小不同，形状不同，不相似.答案：两组图形都不相似6.如图27.1－7，试一试，把下列左边的图形放大到右边的格点图中.图27.1－7思路解析：在格点中作相似形时，找能够反映图形特征的点，作出这些被放大或缩小后的位置，再由这些点构造新图形.答案：(不唯一)7.如图27.1－8，已知图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和∠α、∠β的度数.图27.1－8思路解析：依据多边形相似的特征：对应边成比例，对应角相等，即可求出x 、y 、z 的比例式，并得到∠D=∠D′=α、∠C=∠C′=110°，再由梯形的定义和平行的性质即可求出α和β.解：因为两个梯形相似，它们的对应边成比例，对应角相等. 所以zy x 5.4422.38.4===且∠D=∠D′=α，∠C=∠C′=110°. 解得:x=3 y=6 z=3.因为梯形ABCD 中，AB ∥CD,所以α=180°－62°=118°,β=180°－110°=70°. 二、综合•应用达标8.矩形相框如图27.1－9所示，图中两个矩形是否相似?图27.1－9思路解析：矩形的四个角都是直角，所以这两个矩形的角都能对应相等；能不能相似关键就看边是否能对应成比例了，不能只凭直觉了. 解：由图可知：大矩形的四条边长分别是14、8、14、8；而小矩形的长为：14－2－2=10，宽为：8－2－2=4，四条边分别是10,4,10,4. ∵14∶10≠8∶4, ∴这两个矩形不相似 9.判断下列各组线段是否成比例? (1)3 cm ； 5 cm ；7 cm ； 4 cm ； (2)12 mm ；5 cm ；15 mm ；4 cm ； (3)1 cm ；5 mm ；10 mm ；2 cm.思路解析：要解决此类问题,应先统一单位(当四条线段的长度单位不相同时)，把它们按从小到大(或从大到小)的顺序进行排列，然后依次计算第一条与第二条、第三条与第四条线段的比，看这两个比值是否相等；有时计算乘积要方便些，如果第一、四两个数的积等于第二三两个数的积，则四条线段成比例，否则不成比例.解：(1)四条线段按从小大的顺序排列为3，4，5，7.∵3×7≠4×5，即3∶4≠5∶7，∴3 cm,4 cm,5 cm,7 cm这四条线段不成比例.(2)5 cm=50 mm,4 cm=40 mm,四条线段按从小大的顺序排列为12，15，40，50.∵12×50=15×40，即12∶15=40∶50，∴12 mm,5 cm,15 mm,4 cm这四条线段成比例.(3)1 cm=10 mm,2 cm=20 mm, 四条线段按从小大的顺序排列为5，10，10，20.∵5×20=10×10，即5∶10=10∶20，∴5 mm,1 cm,10 mm,2 cm这四条线段成比例.10.试将一个正方形纸片(如图27.1－10)分割为8个相似的小正方形.图27.1－10答案：11.在如图27.1－11所示的相似四边形中，α比β大15°，求未知边x、y的长度和角度α、β的大小.图27.1－11思路解析：依据多边形相似的特征：对应边成比例，对应角相等，即可求出x、y、α和β解：因为两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以12∶6=8∶y=x∶3.解得y=4，x=6.由α+β+115°=360°，α=β+15°，得α=100°，β=85°.三、回顾•展望达标12.我们已经学习了相似三角形,也知道:如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同,我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形,它们的边长,对角线等所有元素都对应成比例,就可以称它们为相似图形.现给出下列4对几何图形:①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形.请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由.思路解析：根据相似形的定义，比较两个图形的对应边的比是否相等，对应角是否相等.答：①两个圆是相似形.因为任何圆的形状相同；②两个菱形不是相似形.因为两个菱形的对角线不对应成比例，两个菱形的形状不同；③两个长方形不是相似形.因为两个长方形的边、对角线不对应成比例，两个长方形的形状不同；④两个正六边形是相似形.因为任何正六边形的形状相等.13.定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.探究：(1)如图甲，已知△ABC中，∠C=90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.(2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割(如图1)； 把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割(如图2)，…依次规则操作下去，n 阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n 为正整数)，设此时小三角形的面积为S n .①若△DEF 的面积为10 000，当n 为何值时，2<S n <3?[ (请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程)②当n>1时，请写出一个反映S n －1，S n ，S n+1之间关系的等式(不必证明)图乙 图1(1阶) 图2(2阶) 图3(3阶)思路解析：本题是阅读理解题，n 阶分割实际是把原三角形分为4n 个相同的小三角形，所以每个小三角形的面积是原三角形的n41. 解：(1)正确画出分割线CD(如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 即是满足要求的分割线).理由：∵∠B=∠B ，∠CDB=∠ACB=90°，∴△BCD ∽△ACB.(2)①△DEF 经n 阶分割所得的小三角形的个数为n41. ∴ S n =n410000. 当n=5时，S 5=5410000≈9.77;当n=6时，S 6=6410000≈2.44; 当n=7时，S 7=7410000≈0.61. ∴当n=6时，2＜S 6＜3. ②2n S =S n －1×S n+1.。