并写成
如果 没有极限则称无穷级数 发散
余项当级数 收敛时其部分和sn是级数 的和s的近似值它们之间的差值
rnssnun1un2
叫做级数 的余项
例1讨论等比级数(几何级数)
的敛散性其中a0q叫做级数的公比
例1讨论等比级数 (a0)的敛散性
解如果q1则部分和
当|q|1时因为 所以此时级数 收敛其和为
当|q|>1时因为 所以此时级数 发散
性质4如果级数 收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变
应注意的问题如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如级数
11)+11)+收敛于零但级数1111却是发散的
推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散
级数收敛的必要条件
性质5如果 收敛则它的一般项un趋于零即
性质5如果 收敛则
证设级数 的部分和为sn且 则
应注意的问题级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件
例4证明调和级数
是发散的
例4证明调和级数 是发散的
证假若级数 收敛且其和为ssn是它的部分和
显然有 及 于是
但另一方面
故 矛盾这矛盾说明级数 必定发散
§111常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
常数项级数给定一个数列
u1u2u3un
则由这数列构成的表达式
u1u2u3un
叫做常数项)无穷级数简称常数项)级数记为 即
其中第n项un叫做级数的一般项
级数的部分和作级数 的前n项和
称为级数 的部分和
级数敛散性定义如果级数 的部分和数列 有极限s即
则称无穷级数 收敛这时极限s叫做这级数的和
性质1如果 则
这是因为设 与 的部分和分别为sn与n则
这表明级数 收敛且和为ks
性质2如果级数 、 分别收敛于和s、则级数 也收敛且其和为s
性质2如果 、 则
这是因为如果 、 、 的部分和分别为sn、n、n则
性质3在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性
比如级数 是收敛的
级数 也是收敛的
级数 也是收敛的
显然 因此所给级数是发散的
例3判别无穷级数
的收敛性
解由于Leabharlann 因此从而所以这级数收敛它的和是1
例3判别无穷级数 的收敛性
解因为
从而
所以这级数收敛它的和是1
提示
二、收敛级数的基本性质
性质1如果级数 收敛于和s则它的各项同乘以一个常数k所得的级数 也收敛且其和为ks
性质1如果级数 收敛于和s则级数 也收敛且其和为ks
如果|q|1则当q1时snna因此级数 发散
当q1时级数 成为
aaaa
时|q|1时因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零
所以sn的极限不存在从而这时级数 也发散
综上所述如果|q|1则级数 收敛其和为 如果|q|1则级数 发散
仅当|q|1时几何级数 a0)收敛其和为
例2证明级数
123n
是发散的
证此级数的部分和为