（7.1）
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第七章
伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
式（7.1）即葛罗米柯方程式，它比欧拉方程式便于积分。但在一般情 况下，无论是欧拉方程式或是葛罗米柯方程式，由于数学处理十分困难， 求解往往是不可能的。仅在某些特殊情况下，欧拉方程式的三个偏微分 方程式可以变成常微分方程式，使数学处理成为可能。下面讨论这些情 况。 一、理想流体沿流线的流动 将欧拉方程式应用到沿流线的流动中，则根据流线方程式可知 wy dx wx dy ， wz dx wx dz ， wy dz wz dy 代入式（5.8）第1式，可得到
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第七章
伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
因为 p px, y, z, t ，所以
dp pபைடு நூலகம்p p p dx dy dz dt x y z t
Xdx
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第七章
伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
经整理可得到下式
Xdx wx wx wx wx 1 p dx wx d x d y d z dt x y z t x
2 wx 1 p Xdx dx wx dwx d x 2
流 体 力 学
中国科学文化出版社
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第二篇 流体动力学基本原理及流体工程
第五章
第六章
第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章
流体动力学微分形式基本方程 流体动力学积分形式基本方程 伯努利方程及其应用 量纲分析和相似原理 流动阻力与管道计算 边界层理论 流体绕过物体的流动 气体动力学基础
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第七章
伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
U P wx w2 2wz y 2wy z x x t x 2 U P wy w2 2wx z 2wz x y y t y 2 U P wz w2 2wy x 2wx y z z t z 2
U U U Z Y z y ， x ， 1 p P 1 p P 1 p P ， ， x x y y z z
X
而且
dwx wx wx wx wx wx wy wz dt t x y z
2 wx 1 ( wx ) wx wx wy wz t 2 x y z
将各项归并，并用行列式表示
w y wz w2 wx U P 2 y z x 2 t wz wx w2 w y U P 2 z x y 2 t wx w y w2 wz U P t 2 z 2 x y 第 3页
即
同样可得到y，z轴方向的关系式
将三式相加
w2 1 p y Ydy dy w y dw y d y 2 2 wz 1 p Zdz dz wz dwz d z 2
2 2 wx w2 w2 1 p p p wz y d Xdx Ydy Zdz dx dy dz d x y z 2 2 2 2
2 2 2 wx 1 ( w wy wz ) wx wx wy wz t 2 x y z
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第七章
伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
wy wx w2 wz wx wx w w w w y z y z t x x x y z 2 wy wx wx w2 wx wz w w y z t x 2 x y z x wx w2 2wz y 2wy z t x 2
第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 第二节
第三节
第四节 第五节
伯努利方程式及其限定条件 实际流体的伯努利方程式 实际流体的总流伯努利方程式 相对运动的伯努利方程式 伯努利方程式的应用
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第七章
伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
在推导伯努利方程式之前，先讨论欧拉方程式的另一种形式，称为葛 罗米柯方程式。 令U为质量力函数，P为压力函数，使得
同理可得
dwy wy w2 2wx z 2wz x dt t y 2 dwz wz w2 2wy x 2wx y dt t z 2
将以上三式代入（5.8）式(欧拉方程）得到
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X wx wx dy wx dz wx 1 p wx wx wx x x y dx z dx t
wx wx wx w 1 p dx wx dx wx dy wx dz x dx x x y z t
等式两边均乘以 dx 得到