正定矩阵的判定摘 要：鉴于正定矩阵的重要性及其应用的广泛性，本文给出了正定矩阵判定的若干等价条件并逐条予以证明，并辅助典型例题。

关键词：正定矩阵；正交矩阵；判定；特征值；正定二次型一、利用定义（一）n 阶实对称矩阵A 称为正定矩阵，如果对于任意的n 维实非零列向量X ，都有T X AX 0>。

正定的实对称矩阵A 简称为正定矩阵，记作0A >。

例1 设A 是正定矩阵，P 是非奇异实方阵，则TP AP 也是正定矩阵。

证明：因为A 是实对称阵，故TP AP 显然也是实对称阵，又对任何实的非零列向量X ，由于PX ≠0(P 是非奇阵),故()T T X P AP X 0>,即TP AP 是正定阵。

1．实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的n 维实非零列向量X =12x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭≠0, 二次型'X AX 是正定二次型。

2．实对角矩阵1n d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 是正定矩阵的充分而且必要条件是i d >0(i =1,2,n )。

3．实对称矩阵A 是正定矩阵的必要而且充分条件是二次型'X AX 的秩与符号差都等于n 。

二、利用主子式（一）n 阶实对称矩阵A 的一切顺序主子式都大于0，则A 为正定矩阵。

证明：对n 作数学归纳法。

当1n =时，()21111f x a x =，由条件11a >0，显然有()1f x 是正定的。

假设该论断论断对1n -元二次型已经成立，现在来证n 元的情形。

令111,111,11,1n n n n a a A a a ----⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，11,n n n a a α-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是矩阵A 可以分块写成1'nn A A a αα⎛⎫=⎪⎝⎭。

既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零。

由归纳法假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1n -级矩阵G 使'11n G AG E -=，这里1n E -代表1n -级矩阵。

令1001G C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,于是 '11C AC ='001G ⎛⎫⎪⎝⎭1'nn A a αα⎛⎫ ⎪⎝⎭001G ⎛⎫ ⎪⎝⎭='1'n nn E G G a αα-⎛⎫- ⎪⎝⎭再令'1201n E G C α-⎛⎫-=⎪⎝⎭,有 ''2112C C AC C =1'01n E G α-⎛⎫ ⎪-⎝⎭'1'n nn E G G a αα-⎛⎫- ⎪⎝⎭'11n E G α-⎛⎫- ⎪⎝⎭=1''00n E GG αα-⎛⎫⎪-⎝⎭令12C C C =, ''nn a GG a αα-=,有'C AC =11a ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 两边取行列式，2CA =a 。

由条件，A >0，因此a >0。

显然11a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=11⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎝111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎝这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，因之A 是正定矩阵。

例2 判断二次型12111nn ii i i i f XX X -+===+∑∑是否正定。

解：二次型f 的矩阵为三角矩阵112112112112⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭A 的任意的k 阶顺序主子式()1102kk A k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以矩阵A 为正定矩阵，原二次型为正定二次型。

（二）n 阶实对称矩阵A 的一切主子式都大于0，则A 为正定矩阵。

证明：设k i A 是A 的一个k 阶主子矩阵, 由于k i A 的任意一个顺序主子式均为A 的一个主子式,所以它们都大于0。

所以为k i A 正定矩阵。

例3 证明若A 称为正定矩阵，则A 的一切主子式都大于0。

证明：(反证法)设A =()ij n n a ⨯是正定矩阵,若存在k 阶主子矩阵111212122212,0k k k k k k k ki i i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a a a a A A a a a =<则由于k i A 是阶实对称矩阵,由引理知存在k 阶正交矩阵使12(,,,)k Ti k A U diag u u u U = , 其中12,,,k u u u 为k i A 的特征值。

由于k i A <0，且k i A =12k u u u 知k i A 的特征值12,,,k u u u 中至少有一个小于0。

不失一般性,设1u <0，令T Y =()1,0,,0 U ,则Y ≠0且k T i Y A Y =1u <0，再令T X =12(,,,)n x x x ，当{}12,,,k i i i i ∈ 时，i i x y =；当i 为其他时，0i x =。

则X ≠0,且T X AX =k T i Y A Y =1u <0,这与A 为正定矩阵的假设矛盾。

（三）n 阶实对称矩阵A 的一切顺序主子矩阵都是正定矩阵，则A 为正定矩阵。

证明：由于A 的一切主子矩阵都是正定矩阵, A 也是它自身的一个主子矩阵,所以A 也是正定矩阵。

例4 t 取何值时，二次型22211213223322245f x x x x x x tx x x =+-+++是正定二次型。

解：二次型f 对应的矩阵为111122125A t t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，要使二次型f 正定，必须A 的各顺序主子式全大于零，即满足110d =>，21112d =10=>, 3111122125d A t t -==-=()24430t t -+->。

得到3122t -<<，所以当31,22t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，二次型f 为正定二次型。

三、利用标准型（一）A 合同于n 阶单位矩阵E ，则A 为正定矩阵。

证明：若A 合同于E ,则存在可逆矩阵B ,使得A=T B EB 。

任取X ≠0, BX Y ==()12,,Tn y y y ,则Y ≠0。

于是T T T T X AX X B EBX Y Y ===22212ny y y ++ >0， 故A 为正定矩阵。

例5 设A ,B 是n n ⨯实对称矩阵，A 是正定矩阵，证明：存在实可逆阵T ，使()'T A B T +为对角阵。

证明：由于A 是正定阵，从而合同于E ，即存在实可逆阵P ，使'P AP E =。

而'P BP 仍为是对称阵，从而存在正交阵Q ，使()''Q P BP Q =1n λλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其中1,,n λλ 是'P BP 的特征值，令T PQ =，则()'T A B T +=111n λλ+⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭得证。

（二）若A 存在正定矩阵B ,使得A =2B ，则A 为正定矩阵。

证明：如果B 正定,使得A=2B ,则B 为对称可逆矩阵,且有A =2B =T B B =T B EB ,即A 合同于E ,所以A 正定。

（三）n 阶实对称矩阵A 的所有特征值都大于0，则A 为正定矩阵。

证明：设A 的全部特征值12,,,n λλλ 全大于零，由引理得A =11(,,,)n Tdiag T λλλ-1Tdiag T -⎡⎤⎣⎦1Tdiag T -⎡⎤⎣⎦=2B ,其中B=1Tdiag T -⎡⎤⎣⎦。

因为B>0，()1,2,,i n = ,所以B 为正定矩阵。

例6 试证二次型：()12,,n f x x x =221nii x=∑+12ni j i j nx x ≤<≤∑为正定二次型。

证明：设f 对应的矩阵为A ，则2111121111211112A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算可得E A λ-=()()111n n λλ----。

所以A 的特征值为111,1n n n λλλ-====+由于A 的特征值全为正，所以A 为正定阵，从而f 为正定二次型。

（四）A 半正定,且A ≠0，则A 为正定矩阵。

证明：设A 的特征值为1λ，2λ ，n λ，由A 半正定可知, i λ≥0，()1,2,,i n = ，所以A 正定。

例7 设A 是n 阶正定矩阵，B 是n 阶半正定矩阵，求证: A B A B +≥+，当且仅当0B =或n 1=时等号成立。

证明:由A 0>知，存在n 阶可逆矩阵P ，使得TP BP n E =，有()T T n P A B P E P BP +=+，T T n P A B P E P BP +=+又因为T P BP 显然是半正定的，设TP BP C ==()ij C ，则有T n E P BP +=11121212221211nnn n nnc c c c c c c c c ++=12121111n n n n n c c c c ---+++++其中i c 是C 的所有i 阶主子式之和，1,2,,i n = 。

因为0TC P BP =≥,它的主子式都非负，因此T n E P BP +≥1n +n c =n E +T P BP =T P AP +T P BP所以T P A B P +≥()TP A B P +由此得A B A B +≥+当0B =或1n =时显然A B A B +≥+成立；当0B ≠且1n >时易知T P BP C =0n n ⨯≠，于是至少有一个ij c ≠0，此时C 的一阶主子式ii c ，jj c 不能为零，否则00ijijc c =2ij c -0<，这与C 半正定矛盾。

于是1c 0>，进一步有Tn E P BP +1>n c +,从而A B A B +≥+成立。

（五）对任意可逆矩阵P , 都有TP AP 正定，则A 为正定矩阵。

证明：由TP AP 正定, P 为可逆矩阵,可得()()11TT A PP AP P --=,即A 与T P AP 合同，而合同不改变矩阵的正定性,所以A 为正定矩阵。

例8 如果A ,B 都是n 阶正定矩阵，证明：A B +也是正定矩阵。

证明：因为A ,B 为正定矩阵，所以'',X AX X BX 为正定二次型，且'X AX 0>，'X BX 0>,因此()'X A B X +='X AX +'X BX 0>于是()'X A B X +必为正定二次型，从而A B +为正定矩阵。

四、以下几个重要结论也常用来判定矩阵A 是正定的 （一）与正定矩阵合同的矩阵一定是正定矩阵。

（二）正定矩阵的逆矩阵必为正定矩阵。