1 时间序列分析模型简介 一、时间序列分析模型概述 1、自回归模型 2、移动平均模型
3、自回归移动平均模型
非线性时间序列预测
基本思想 设时间序列来自确定性系统 X(n)=F(X(n-1)),F(.)为连续函数。 若 X(n)和X(j)距离很小，则F(X(n))和F(X(j))距 离也应很小，即X(n+1)和X(j+1)间的距离很 小，从而 可以用X(j+1)作为X(n+1)的预测值。
式【3】称为 q 阶移动平均模型，记为MA（ q ）
注：实参数 1 ,2 ,
X t ut 1ut 1 2ut 2
qut q
【3】
,q 为移动平均系数，是待估参数
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
引入滞后算子，并令 (B) 1 1B 2 B2 则模型【3】可简写为
X t 1 X t 1 2 X t 2
p X t p ut
【1】
【1】式称为 p 阶自回归模型，记为AR（ p ）
注1：实参数 1 , 2 , , p 称为自回归系数，是待估参数. 随机项 u t 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、 方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。 注2：一般假定 X t 均值为0，否则令 X t X t
Lorenz系统的吸引子(x-y-z）
20
10
0
-10
-20 60 40 20 -20 0 -40 0 40 20
20
20
10
10
0
0
-10
-10
10 0 -10 -20 -20 -10 10 0 20
-20 20
-20 60 40 20 -20 0 0 -40 20
重构后的相图(x-y-z)
原始系统相图(x-y-z)
主要方法 线性自相关函数法 平均互信息法（课后自行查阅）
线性自相关函数法
定义自相关函数为
C ( )
1 N
N n 1
(x
1 N
N n 1
n N
x )(xn x) ,
2 ( x x ) n n 1
1 其中x N
x
n
选择使得自相关函数C(τ)第一次为零时的τ的值为延迟时间
【2】
( B) X t ut
AR（
的根均在单位圆外，即
p ）过程平稳的条件是滞后多项式 ( B)
( B) 0 的根大于1
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、移动平均【MA】模型
移动平均序列 X t ： 如果时间序列 X t 是它的当期和前期的随机误差 项的线性函数，即可表示为
科学的目的就是要挖掘出事物的因果关系。 一个理论能否被接受，很重要的一个条件在于它 能否对事物的客观规律作出一定的预测。 根据混沌系统提取的非线性时间序列对系 统的未来进行预测，是一个十分重要的方向。 从时间序列研究混沌，始于Packard等1980 提出的重构相空间理论。
对于决定系统长期演化的任一变量的时间演 化，均包含了系统所有变量长期演化的信息。因 此，我们可以通过决定系统长期演化的任意单变 量时间序列来研究系统的混沌行为。 由时间序列恢复原系统最常用的方法利用Takens 的延迟嵌入定理： 对于一个非线性系统,通过观测,可以得到一组测量值 x ( n)，n=1,2,…N 利用此测量值可以构造一组m 维向量 X( n) = ( x ( n) , x ( n +τ) , ⋯,x ( n +( m - 1)τ) ) n= 1,…N- ( m - 1)τ 如果参数τ, m 选择恰当,则X( n) 可描述原系统。 τ称为延迟时间，m称为嵌入维数。由x(n)构造X(n) 称为 相空间重构。
相空间重构例

Henon 映射
xn 1 1 1.4 x yn yn 1 0.3xn
2 n
该系统虽然有两个状态变量，但如果观测到状态变量 Xn的信息，我们可以从Xn建立原系统的模型
对状态变量Xn进行相空间重构:Zn=(Xn,Xn-1)
由Zn 可以重构原来的系统
延迟时间间隔τ的选取
如果只观测到变量x的值，利用x作相空间重构 取延迟时间为9，嵌入维数为3 即令 (x(1),y(1),z(1))=(x(19),x(10),x(1)) (x(2),y(2),z(2))=(x(20),x(11),x(2)) (x(3),y(3),z(3))=(x(21),x(12),x(3))
时间序列分析模型
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
一、概 述
ARMA模型是一类常用的随机时间序列模型，是一 种精度较高的时间序列短期预测方法，其基本思想是：某 t 些时间序列是依赖于时间 的一族随机变量，构成该时 间序列的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变 化却有一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描述. 通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地认识时 间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测. ARMA模型有三种基本类型：
自回归（AR：Auto-regressive）模型 移动平均（MA：Moving Average）模型 自回归移动平均（ARMA：Auto-regressive Moving Average）模型
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 1、自回归【 AR 】模型
自回归序列 X t：

如果时间序列 X t 是它的前期值和随机项的线性 函数，即可表示为
嵌入维数m的选取
主要方法（课后查阅）
虚假邻点法 关联积分法 奇异值分解法
Lorenz系统
dx dt ( y x) dy x(r z ) y dt dz dt xy bz
8 取 10，r 28, b 3 初值x0 15.34, y0 13.68, z0 37.91
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
k 记 B k 为 k 步滞后算子，即 B X t X t k ，则 模型【1】可表示为
X t 1BX t 2 B X t
2
2 ( B ) 1 B B 令 1 2
p B X t ut
p
p B p ，模型可简写为