全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}2,1,3,4U =--，集合{}=1,3B -，则U C B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}2,3- C ．{}2,4- D ．∅2.命题“()21,,log 1x x x ∀∈+∞=-”的否定是（ ）A ．()21,,log 1x x x ∀∈+∞≠-B ．()21,,log 1x x x ∃∈+∞≠-C ．()21,,log 1x x x ∃∈+∞=-D ．()21,,log 1x x x ∀∉+∞≠- 3.若sin 0,cos 022ππθθ⎛⎫⎛⎫+<-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 4.已知平面向量,a b 的夹角为60︒，()1,3,1a b ==，则a b +=（ ）A ．2B ．．45.若将函数sin 32y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）A ．sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．3sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. sin 312y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．5sin 312y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6.设平面向量()()1,2,2,a b y ==，若//a b ，则2a b +=（ ）A ．． C. 4 D ．5 7.已知()0,απ∈，且4sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．17± B ．7± C.17-或7- D ．17或78. 已知()()cos17,cos73,2cos77,2cos13AB BC =︒︒=︒︒，则ABC ∆的面积为（ ）A B ．．29. 已知平面向量,a b 满足()2a a b ⋅=，且1,2a b ==，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C. 23π D ．56π 10. 函数()f x 有4个零点，其图象如图，和图象吻合的函数解析式是（ ）A ．()sin lg f x x x =-B ．()sin lg f x x x =- C. ()sin lg f x x x =- D ．()sin lg f x x x =- 11. 已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角所对的边，满足cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形12.某新建的信号发射塔的高度为AB ，且设计要求为:29米AB <<29.5米.为测量塔高是否符合要求，先取与发射塔底部B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得60,75,40BDC BCD CD ∠=︒∠=︒=米，并在点C 处的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30︒，且1CE =米，则发射塔高AB =（ ）A ．()1米 B ．()1米 C. ()1米 D ．()1米第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数()()log 210,1a y x a a =+>≠的图象必定经过的点的坐标为 ． 14.命题“若0x <，则10x e x +-<”的逆否命题为 ．15.已知函数()()0,1x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则b a = ． 16.已知ABC ∆的三边垂直平分线交于点O ，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()222c b b =-，则AO BC ⋅的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设()()()()log 3log 30,1a a f x x x a a =++->≠，且()02f =. （1）求实数a 的值及函数()f x 的定义域；（2）求函数()f x 在区间⎡⎣上的最小值.18.在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()cos sin 0B C A ++=. （1）求A ；（2）若6a =ABC ∆的面积为3，求b c -的值.19.设向量cos ,cos 2,sin 2,sin 44a x b x ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的单调递减区间. 20. 如图，在ABC ∆中，,23B BC π==，点D 在边AB 上，,AD DC DE AC =⊥，E 为垂足.（1）若BCD ∆，求AB 的长；（2）若ED =，求角A 的大小. 21.已知向量()()2,sin ,cos ,1m n αα==-，其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥.（1）求sin 2α和cos 2α的值；（2）若()sin αβ-=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β.22.设函数()sin 1f x x x =+.（1）求函数()f x 的值域和函数的单调递增区间； （2）当()135f α=，且263ππα<<时，求2sin 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 试卷答案一、选择题1-5: CBBCD 6-10:BCACD 11、12：CA 二、填空题13.()0,0 14.若10x e x +-≥，则0x ≥ 15. 4 16.2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题17.解：（1）∵()02f =，∴()log 920,1a a a =>≠，∴3a =. 由30,30,x x +>⎧⎨->⎩得()3,3x ∈-，∴函数()f x 的定义域为()3,3-.（2）()()()()()()23333log 3log 3log 33log 9f x x x x x x =++-=+-=-⎡⎤⎣⎦.∴当(]3,0x ∈-时，()f x 是增函数；当()0,3x ∈时，()f x 是减函数，故函数()f x 在区间0⎡⎣上的最小值是3log 31f==.18.解：（1）因为()cos sin 20B C A ++=， 所以cos 2sin cos 0A A A -+=，即1sin 2A =. 又因为ABC ∆为锐角三角形，所以1sin 2A =，所以30A =︒.（2）因为1sin 32ABC S bc A ∆==，所以12bc =.又因为2222cos a b c bc A =+-，所以2239b c -+-2239b c +=.故b c -=19.解：（1）()sin 2cos cos 2sinsin 2444f x a b x x x πππ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭. 故函数的最小正周期为22ππ=. （2）令3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，求得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，故函数的减区间为37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 再根据[]0,x π∈，可得函数的减区间为37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．解：（1）∵BCD ∆，,23B BC π==，∴12sin 23BD π⨯⨯⨯=23BD =. 在BCD∆中，由余弦定理可得由题意可得CD ===.∴23AB AD BD CD BD =+=+==（2）∵DE =sin DE CD AD A ===，在BCD ∆中，由正弦定理可得sin sin BC CDBDC B=∠.∵2BDC A ∠=∠，∴2sin 2A =，∴cos A =∴4A π=.21.解：（1）∵m n ⊥，∴2cos sin 0αα-=， 即sin 2cos αα=.代入22cos sin 1αα+=，得25cos =1α，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos αα=.则4sin 2=2sin cos 25ααα==. 213cos22cos 12155αα=-=⨯-=-.（2）∵0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.又()sin αβ-=()cos αβ-=()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=---⎡⎤⎣⎦==. 因0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4πβ=.22.解：（1）依题意()sin 12sin 13f x x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭.因为22sin 23x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则12sin 133x π⎛⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域是[]1,3-.令22,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得522,66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调增区间为52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （2）由()132sin 135f παα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为263ππα<<，所以23ππαπ<+<时，得3cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.所以2sin 2sin 22sin cos 3333ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭432425525=-⨯⨯=-.。