倒易点阵
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倒易点阵
❖ 倒易点阵概念及定义 ❖ 倒易点阵的物理意义 ❖ 倒易点阵的应用是一个假想的点阵.
❖ 将空间点阵(真点阵或实点阵)经过倒易变换,就 得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵,但其 结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间称为倒 易空间。
❖ 1860年法国结晶学家布拉菲提出并作为空间点 阵理论的一部分，但缺乏实际应用。
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点阵中单胞的体积：V=a·(b×c)=b·(a×c) =c·(a×b)
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倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系
（仅当正交晶系）
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倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0;
a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
同名基矢点乘为1。
a*·a=b*·b=c*·c=1.
2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点
的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
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ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
❖ 1平.倒行易于矢它量的法gh向kl垂N直hkl于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 ❖ 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
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晶带定理
❖ 在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。
向平行于（hkl）晶面的法线，则有K‘ –K= G，即为布拉格方程 14
的矢量形式。
倒易点阵的应用
倒易点阵使许多晶体几何学问题的解决变得简易。例如单胞体 积，晶面间距、晶面夹角的计算以及晶带定理的推导等等。以 下是倒易点阵的应用。 1°由倒易点阵的基本性质可得： a*=1/d100，b*=1/d010，c*=1/d100 （a*=G100=1/d100） 在晶体点阵S 中，点之间或点阵平面之间的距离用Å 作单位， 因此，a*、b*、c*的单位为Å－1。在用图解法解决实际问题时， 用相对标度值表示相对大小即可。
ghkl(倒易矢量)为：ghkl=h a*+k b*+lc* 式中hkl为正点阵中的 晶面指数
3. 倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即
ghkl=1/dhkl 4. 对正交点阵，有 a*∥a，b*∥b，c*∥c，
a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c，
5. 只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行）
❖ 图示为正空间中晶体的[uvw]晶带
❖ 图中晶面（h1k1l1）、（h2k2l2）、 （h3k3l3）的法向N1、N2、N3和倒 易矢量gh1k1l1、gh2k2l2、gh3k3l3的方 向相同.
❖ 晶带定理：因为各倒易矢量都和
其晶带轴r=[uvw]垂直，固有
ghkl•r=0 ，即 hu+kv+lw=0, 这就
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倒易点阵的应用
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倒易点阵的应用
4°晶带轴 按定义，指数为（h1、k1、l1）和（h2、k2、l2）两晶面的 晶带轴即为这两个晶面的交线方向，若含此交线平行于某一 （正）矢量，puvw p=ua+vb+wc 所求晶带轴即求出[uvw]三数即可。 （h1、k1、l1）和（h2、k2、l2）晶面的法线是平行Gh1k1l1 和Gh2k2l2
于是它们的点乘为0 20
倒易点阵的应用
根据倒易基矢定义式，显然有：
为了便于记忆，一般写成如下形式：
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倒易点阵的应用
证明
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倒易点阵的应用
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1 黄昆原(著)．韩汝琦(改编)．固体物理学[M]．北京：高等教育出版社，1988 2 王莉.WANG Li 正点阵与倒易点阵中的对应关系[期刊论文]-唐山师范学院学报 2004(5) 3 陈难先.CHEN Nan-xian 倒易点阵与晶面指数的关系[期刊论文]-大学物理 2011(2) 4 申成.SHEN Cheng 二维晶体的衍射及其倒易点阵的物理内容[期刊论文]-长沙电 力学院学报（自然科学版）2005,20(4) 5 付宝连 广义倒易定理及其应用[期刊论文]-应用数学和力学2002,23(2)
中,AO*与AG 的夹角为θ，则ΔAO*G 满足布拉格方程，即此时电 子束波长λ，晶面间距dhkl 及取向关系θhkl之间可用直角三角形表
示出来：即AO* = 2/λ, ∠O*AG =θ , O*G = 1/d，沿AO*方向入射
的电子束照射在O 点处的晶体，一部份电子束透射过去，一部份 使晶面间距为dhkl 的（hkl）面发生衍射，在OG 方向产生衍射束。 若入射波卡量用K 表示，衍射波矢量用K表示，含O*G＝G，其方
于其倒易矢量长度的一半。
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Ewald 图解
入射线
θ
B
1
反射方向 P
反射线
g
2θ
θ (hkl)
A
θO
反射球
Ewald 作图法
以一晶体为中心（O 点）， 以1/λ为半径，在空间画一 个球，这个球即为爱瓦尔 德球
如图令电子束沿直径AO*的方向入射，经过晶体O
点亦到达O*点，取O*G 的长度为1/dhkl，若直角三角形ΔAO*G
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是晶带定理。
倒易点阵的物理意义
在研究晶体对X射线或对电子束的衍射效应时， 某晶面{hkl}能否产生衍射的重要条件就是该晶 面相对于入射束的取向以及晶面间距d(hkl)满足： d(hkl)sin=n ，即著名的布拉格方程，其中-入 射角，-波长。各晶面的散射波干涉加强的条 件是，波程差为波长的整数倍。这是满足衍射 的必要条件，但不是充分条件。
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倒易点阵的物理意义
❖ 为了从几何学上形象的确定衍射条件，人们就找到一个新的 点阵（倒易点阵），使其与正点阵（实际点阵）相对应。
❖ 对应的条件：新点阵中的每一个结点都对应着正点阵的一定 晶面，该结点既反映该晶面的取向也反映该晶面的面间距。
❖ 具体条件： ❖ a正. 点新阵点中阵{中hk原l}面点的O到法任线意方结向点。P(hkl) （倒易点）的矢量正好沿 ❖ b. 新点阵中原点O到任意结点P(hkl)的距离等于正点阵中{hkl}
❖ 1921年德国物理学家埃瓦尔德把倒易点阵引入
衍射领域。此后，倒易点阵成了研究各种衍射
问题的重要工具。
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倒易点阵定义
❖ 倒易点阵的定义 ❖ 倒易点阵的性质 ❖ 晶带定理
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倒易点阵的定义
倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵异名矢量构成的平 面。 用a、b、c表示晶体点阵（正点阵）的基本矢量；用 a*、b * 、c *表示倒易点阵的基本平移矢量，则倒易 点阵与正点阵的基本对应关系为：
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倒易点阵的应用
2°晶面间距公式 （ hkl ）晶面的间距dhkl为: dhkl=1/IGhklI (dhkl )-2 =G2hkl =ha*+ kb*+ lc* 2
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倒易点阵的应用
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倒易点阵的应用
3°晶面之间的夹角ϕ ，（h1、k1、l1）晶面与（h2、k2、l2） 晶面之间的夹角ϕ （也即这两个晶面的法线之间的夹角ϕ 即为 Gh1、k1、l1 与Gh2、k2、l2 晶面之间的夹角），故
面的面间距的倒数。
❖ 将实际晶体中一切可能的的{hkl}面所对应的倒易点都画出来， 由这些倒易点组成的点阵称为倒易点阵。
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倒易点阵的物理意义
爱瓦尔德球（反射球）(P.P.Ewald) ❖ Ewald 图解是衍射条件的几何表达式。 ❖ sinθ =λ/2d ❖ 令d= λ /ghkl （此时比例系数用X射线的波长） ❖ 则sinθ = ghkl /2 ❖ 即某衍射面（ hkl）所对应的布拉格角的正弦等