21、数字和与最大最小问题【数字求和】例1 100个连续自然数的和是8450，取其中第1个，第3个，第5个，………，第99个（所有第奇数个），再把这50个数相加，和是______。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：第50、51两个数的平均数是8450÷ 100= 84. 5，所以，第50个数是84。
则100个连续自然数是：35，36，37，………，133，134。
上面的一列数分别取第1、3、5、……、99个数得：35，37，39，……131，133。
则这50个数的和是：例2 把1至100的一百个自然数全部写出来，所用到的所有数码的和是_____。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析；可把1至100这一百个自然数分组，得（1、2、3、……、9），（10、11、12、……、19），（20、21、22、……29），……，（90、91、92、……99），（100）。
容易发现前面10组中，每组的个位数字之和为45。
而第一组十位上是0，第二组十位上是1，第三组十位上是2，……第十组十位上是9，所以全体十位上的数字和是（l+2+3+……+9）×10=450。
故所有数码的和是45×10+450+l=901。
续若干个数字之和是1992，那么a=____。
（北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题）又，1992÷27=73余21，而21=8+5+7+1，所以 a=6。
例4 有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数，用这种方法计算了四次，分别得到四个数：86，92，100，106。
那么，原来四个数的平均数是（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：每次所选的三个数，计算其平均数，实际上就是计算这三个数中原来四个数的平均数为（86+92+100+106）÷2=192。
【最大数与最小数】例1 三个不同的最简真分数的分子都是质数，分母都是小于20的合数，要使这三个分数的和尽可能大,这三个分数是（全国第四届《从小爱数学》邀请赛试题）。
讲析： 20以内的质数有： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19要使三个分数尽量大，必须使每个分子尽量大而分母尽量小。
且三个真例2 将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分成三组，分别计算各组数的和。
已知这三个和互不相等，且最大的和是最小和的2倍。
问：最小的和是多少？（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）讲析；因为1+2+3+……+8=36，又知三组数的和各不相同，而且最大的例3 把20以内的质数分别填入□中（每个质数只用一次）：使A是整数。
A最大是多少？（第五届《从小爱数学》邀请赛试题）讲析：要使A最大，必须使分母尽量小，而分子尽量大。
分母分别取2、3、5时，A都不能为整数。
当分母取7时，例4 一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25。
除1之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和。
问：这组数之和的最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。
（全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题）析：观察自然数1、2、3、4、5、……、25这25个数，发现它们除1之外，每个数都能用其中某一个数的2倍，或者某两个数之和表示。
因此，这组数之和的最大值是1+2+3+……+25=325。
下面考虑数组中各数之和的最小值。
1和25是必取的，25不能表示成一个数的2倍，而表示成两个数之和的形式，共有12种。
我们取两个加数中含有尽可能大的公约数的一组数（20+5）或者（10+15）。
当取1、5、20、25时，还需取2、3、10三个；当取1、10、15、25时，还需取2、3、5。
经比较这两组数，可知当取1、2、3、4、5、10、15、25时，和最小是61。
22、数字串问题【找规律填数】例1 找规律填数（杭州市上城区小学数学竞赛试题）（1992年武汉市小学数学竞赛试题）讲析：数列填数问题，关键是要找出规律；即找出数与数之间有什么联系。
第（1）小题各数的排列规律是:第1、3、5、……（奇数）个数分别别是4和2。
第（2）小题粗看起来，各数之间好像没有什么联系。
于是，运用分数得到了例2 右表中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的。
按照这个规律在空格中填上合适的数。
（1994年天津市小学数学竞赛试题）讲析：根据题意，可找出每竖行的三个数之间的关系。
不难发现每竖行中的第三个数，是由前两数相乘再加上1得来的。
所以空格中应填33。
【数列的有关问题】数是几分之几？（第一届《从小爱数学》邀请赛试题）讲析：经观察发现，分母是1、2、3、4、5……的分数个数，分别是1、3、5、7、9……。
所以，分母分别为1、2、3……9的分数共例2 有一串数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，1989，1988，…这个数列的第1993个数是______（首届《现代小学数学》邀请赛试题）讲析：把这串数按每三个数分为一组，则每组第一个数都是1，第二、三个数是从1993开始，依次减1排列。
而1993÷3=664余1，可知第1993个数是1。
例3 已知小数0.12345678910111213……9899的小数点后面的数字，是由自然数1—99依次排列而成的。
则小数点后面第88位上的数字是______。
（1988年上海市小学数学竞赛试题）讲析：将原小数的小数部分分成A、B两组：A中有9个数字，B中有180个数字，从10到49共有80个数字。
所以，第88位上是4。
例4 观察右面的数表（横排为行，竖排为列）；几行，自左向右的第几列。
（全国第三届“华杯赛”决赛试题）讲析：第一行每个分数的分子与分母之和为2，第二行每个分数的分子与分母之和为3，第三行每个分数的分子与分母之和为4，……即每行各数的分子与分母之和等于行数加1。
例5 如图5.4，除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，那么第100行各数之和是_______。
（广州市小学数学竞赛试题）讲析：可试探着计算每行中各数之和。
第一、二、三、四行每行的各数之和分别是6、8、10、12，从而得出，每行的数字之和，是行数的2倍加4。
故第100行各数之和为100×2＋4=204.例6 伸出你的左手，从大拇指开始，如图5.5所示的那样数数：l、2、3……。
问：数到1991时，会落在哪个手指上？（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：除1之外，从2开始每8个数为一组，每组第一个数都是从食指开始到拇指结束。
∵（1991—1）÷8=248余6，∴剩下最后6个数又从食指开始数，会到中指结束。
例7 如图5.6，自然数按从小到大的顺序排成螺旋形。
在“2”处拐第一个弯，在“3”处拐第二个弯……问拐第二十个弯处是哪个数？（全国第一届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：写出拐弯处的数，然后按每两个数分为一组：（2，3），（5，7），（10，13），（17，21），（26，31），……。
将会发现，每组数中依次相差1、2、3、4、5、……。
每组的第二个数与后一组的第二个数依次相差2、3、4、5、……。
从而可推出，拐第二十个弯处的数是111。
例8 自然数按图5.7顺次排列。
数字3排在第二行第一列。
问：1993排在第几行第几列？（全国第四届“华杯赛”复赛试题）讲析：观察每斜行数的排列规律，每斜行数的个数及方向。
每一斜行数的个数分别是1、2、3、4、5、……，奇数斜行中的数由下向上排列，偶数斜行中的数由上向下排列。
斜行，该斜行的数是由下向上排列的，且第63行第1列是1954。
由于从1954开始，每增加1时，行数就减少1，而列数就增加1。
所以1993的列数、行数分别是：1993—1954＋1=40（列），63-（1993—1954）=24（行）23、数阵图【方阵】例1 将自然数1至9，分别填在图5.17的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。
（长沙地区小学数学竞赛试题）讲析：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。
（l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。
显然，中间一数填“5”。
再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图5.18），便得解答如下。
例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图5.19的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。
（“新苗杯”小学数学竞赛试题）讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3整除，又能被 4整除，（三行四列）。
所以，能被12整除。
十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉7。
每列为（91—7）÷4=21而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图5.20所示。
三个奇数和为21的有两种：21=1＋9+11=3＋5+13。
经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案，如图5.21所示。
例3 十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个数填到图5.22的十个方格中，每格填一个，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。
那么，这个和数的最小值是______。
（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。
它们的和是65。
在三个2×2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。
设中间两个小正方形分别填上a和b，则（65＋a＋b）之和必须是 3的倍数。
所以，（a＋b）之和至少是7。
故，和数的最小值是24。
【其他数阵】例1 如图5.23，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。
已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。
图中已填入3、5、8和“×”四个数，那么“×”代表的数是______。
（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：可先看竖格。
因为每相邻三格数字和为21，所以每隔两格必出现重复数字。
从而容易推出，竖格各数从上而下是：3、10、8、3、10、8、3、10、8、3、10、8。
同理可推导出横格各数，其中“×”=5。
例2 如图5.24，有五个圆，它们相交后相互分成九个区域，现在两个区域里已经分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字，使每个圆内的数之和都是15。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：可把图中要填的数，分别用a、b、c、d、e、f、g代替。
（如图5.25）显然a=5，g=9。
则有：b＋c=10，e＋f=6，c＋d＋e=15。
经适当试验，可得b=3，c=7，d=6，e=2，f=4。