41、简单方程的解法【一元一次方程解法】求方程的解（或根）的过程，叫做解方程。

解一元一次方程的一般步骤（或解法）是：去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知数x的系数。

解去分母，两边同乘以6，得3（x-9）-2（11-x）=12去括号，得3x-27-22+2x=12移项，得3x+2x=12+27+22合并同类项，得5x=61【分式方程解法】分母中含未知数的方程是“分式方程”。

解分式方程的一般步骤（或方法）是：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根，是原方程的增根，必须舍去。

解方程两边都乘以x（x-2），约去分母，得5（x-2）=7x解这个整式方程，得x=-5，检验：当x=-5时，x（x-2）=（-5）（-5-2）=35≠0，所以，-5是原方程的根。

解方程两边都乘以（x+2）（x-2），即都乘以（x2-4），约去分母，得（x－2）2-16＝（x+2）2解这个整式方程，得x=-2。

检验：当x=-2时，（x+2）（x-2）=0，所以，-2是增根，原方程无解。

42、加法运算定律【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。

这叫做“加法的交换定律”，简称“加法交换律”。

加法交换律用字母表达，可以是a+b=b+a。

例如：864+1，236=1，236+864=2，100【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。

这叫做“加法的结合定律”，简称“加法结合律”。

加法结合律用字母表达，可以是（a+b）+c=a+（b+c）。

例如：（48928+2735）+7265=48928+（2735+7265）=48928+10000= 5892843、几何图形旋转【长方形（或形）旋转】将一个长方形（或形）绕其一边旋转一周，得到的几何体是“圆柱”。

如图1.37，将矩形ABCD绕AB旋转一周，得圆柱AB。

其中AB为圆柱的轴，也是圆柱的高。

BC或AC是圆柱底面圆的半径，CD叫做圆柱的母线。

【直角三角形旋转】将一个直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周，所形成的几何体是“圆锥”。

例如图1.38，将直角三角形ABC，绕直角边AC旋转一周，便形成了圆锥AC。

其中AC 是圆锥的轴，也是圆锥的高；CB是圆锥底面的半径；AB叫做圆锥的母线。

【直角梯形旋转】将一个直角梯形绕着它的直角腰旋转一周所形成的几何体，叫做“圆台”。

例如图1.39，将直角梯形ABCD绕着它的直角腰AB旋转一周。

便形成了圆台AB。

其中，AB是圆台的轴，也是圆台的高，上下底AD、BC，分别是圆台上、下底面圆的半径，斜腰DC，是圆台的母线。

【半圆旋转】将一个半圆绕着它的直径旋转一周所形成的几何体，叫做“球”。

例如图1.40，半圆绕着它的直径AB旋转一周，便形成了球O。

原来的半圆圆心O是球心；原来半圆的半径和直径，分别叫做球的半径和直径；原来半圆的直径也是球的轴和直径。

44、几何图形的计数【点与线的计数】例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？（全国第二届“华杯赛”决赛试题）讲析：可用“分组对应法”来计数。

将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。

第一排三角形有1个，其下行线有2点；第二排三角形有3个，其下行线有3点；第三排三角形有5个，其下行线有4点；以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。

所以是小三角形个数多。

例2 直线m上有4个点，直线n上有5个点。

以这些点为顶点可以组成多少个三角形？（如图5.46）（市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。

直线n上有5个点，这5点共可以组成4＋3+2＋1=10（条）线段。

以这些线段分别为底边，m上的点为顶点，共可以组成4×10=40（个）三角形。

同理，m上4个点可以组成6条线段。

以它们为底边，以n上的点为顶点可以组成6×5=30（个）三角形。

所以，一共可以组成70个三角形。

【长方形与三角形的计数】例1图5.47中的形被分成9个相同的小形，它们一共有16个顶点，以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。

在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（全国第三届“华杯赛”复赛试题）为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。

①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4=32（个）；②高为2，底边长为3的三角形有8×2=16（个）。

所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。

例2 图5.48中共有______个三角形。

（《现代小学数学》）邀请赛试题）讲析：以AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6个；以AB边上的线段为底边，分别以G、H、F为顶点共有三角形3个；以BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6个。

所以，一共有15个三角形。

例3 图5.49中共有______个形。

（《现代小学数学》邀请赛试题）讲析：可先来看看图5.50的两个图中，各含有多少个形。

图5.50（1）中，形个数是6×3＋5×2＋4×1=32（个）；图5.50（2）中，形个数是4×4+3×3+2×2＋1×1=30（个）如果把图5.49中的图形，分成5×6和4×11两个长方形，则：5×6的长方形中共有形5×6+4×5＋3×4＋2×3＋1×2=70（个）；4×11的长方形中共有形4×11+3×10+2×9＋1×8=100（个）。

两个长方形相交部分4×5的长方形中含有形4×5+3×4＋2×3＋1×2=40（个）。

所以，原图中共有形70＋100-40=130（个）。

例4 平面上有16个点，排成一个形。

每行、每列上相邻两点的距离都相等[如图5.51（1）]，每个点上钉上钉子。

以这些点为顶点，用线将它们围起来，一共可围成______个形。

（《小学生科普报》奥林匹克通讯赛试题）讲析：能围成图5.51（2）的形共14（个）；能围成图5.51（3）的形共2（个）；能围成图5.51（4）的形共4（个）。

所以，一共可围成形20个。

【立体图形的计数】例1 用125块体积相等的黑、白两种体，黑白相间地拼成一个大体（如图5.52）。

那么，露在表面上的黑色体的个数是_______。

（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：本题要注意不能重复计数。

八个顶点上各有一个黑色体，共8个；每条棱的中间有一个黑色体，共12个；除上面两种情况之外，每个面有5个黑色体，共5×6=30（个）。

所以，总共有50个黑色体露在表面上。

例2 把1个棱长为3厘米的体分割成若干个小体，这些小体的棱长必须是整数。

如果这些小体的体积不要求都相等，那么，最少可以分割成______个小体。

（市第九届“迎春杯’小学数学竞赛试题）讲析：若分成｜×××｜的小体，则共可分成27个。

但是分割时，要求体尽可能地少，也就是说能分成大体的，尽可能地分。

则在开始的时候，可分出一个2×2×2的体（如图5.53），余下的都只能分成1×1×1的体了。

所以，最少可分成20个小体。

45、几何体侧面展开【正棱柱、圆柱侧面展开】正棱柱（底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱）和圆柱的侧面展开，摊在同一个平面上，是一个矩形。

矩形的上、下对边，是柱体上、下底面的周长；矩形左右两对边，是柱体的侧棱或母线。

例如图1.41，将正六棱柱ABCDEF—A払扖扗扙扚捈霸仓鵒O挼牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希愠闪司匦蜛1A抇1A抇2A2。

图中画出的是棱柱侧面展开图。

圆柱侧面展开后，也是一矩形，只是中间没有那些虚线。

%【正棱锥侧面展开】正n棱锥（底面为正n边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥）侧面展开，摊在同一平面上，是顶点公共、腰与腰相连的n个全等的等腰三角形。

例如图1.42，将正三棱锥S—ABC的侧面展开，摊在同一个平面上，便形成了三个全等的等腰三角形SAB、SBC和SCA捪嗔耐夹巍【圆锥侧面展开】圆锥侧面展开，摊在同一个平面上，变成的是一个扇形。

扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，扇形的两条半径，是圆锥的母线。

例如图1.43，将圆锥SO的侧面展开，摊在同一个平面上，便成了扇形径SA、SA挼募薪铅瓤砂聪旅娴氖阶蛹扑悖篲式中r是圆锥底面圆半径，l是圆锥母线的长。

【正棱台侧面展开】正n棱台（用一平行于正n棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面间的几何体）侧面展开，摊在同一个平面上，得到的是n个全等的等腰梯形，并且腰腰相连。

例如图1.44，将正三棱台ABC—A払扖挼牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希阈纬闪烁猛加冶叩耐夹瘟恕【圆台侧面展开】圆台侧面展开，摊在同一个平面上的图形，是圆环的一部分，叫做“扇环”。

这个扇环像梯形，它的两“腰”是圆台的母线，它的上、下“底”是两条弧，其弧长分别是圆台上、下底面圆的周长。

例如图1.45，将圆台O1O2的侧面展开，摊在同一个平面上，就形成了46、几何公式【平面图形计算公式】一般的平面图形计算公式，如下表。

【立体图形计算公式】(1)柱体公式。

（2）锥体公式。

正n棱锥（如图1．13）的公式：圆锥的公式（圆锥如图1．14所示）：（3）棱台、圆台公式。

正n棱台（如图1．15）的公式：圆台（如图1．16）的公式：（4）球的计算公式。

球的图形如图1．17所示。

S表=4πr2；附录：其他常用公式【整数约数个数公式】一个大于1的整数，约数的个数等于它的质因数分解式中，每个质因数的个数（指数）加1的连乘积。

例如，求4500的约数个数。

解∵4500=22×32×53∴4500的约数个数是（2+1）×（2+1）×（3+1）=36（个）。

【约数之和的公式】一个大于1的自然数N，将它分解质因数为为自然数，则N的所有约数的和为S（N），可用下列公式计算：例如求1992的所有约数的和。

解S（1992）=S（23×31×831）=5040．【分数拆项公式】在奥赛中，为使计算简便，经常用到下面四个分数拆项公式：（1）连续两个自然数积的倒数，可拆成较小的自然数的倒数，减去较大的自然数的倒数。

即（2）连续三个自然数的积的倒数，可拆成前两个自然数的积的倒数，减去后两个自然数的积的倒数的差的一半。

即（3）连续四个自然数的积的倒数，可拆成前三个自然数的积的倒数，（4）一般分数拆项公式。