选修2-3 2.2.2
一、选择题
3．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为1
4，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是( )
(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响) A.13
20 B.15
C.14
D.25
[答案] D
[解析] 设“儿童体型合格”为事件A ，“身体关节构造合格”为事件B ，则P (A )＝15，P (B )＝1
4.又A ，B 相互独立，则A ，B 也相互独立，则P (A B )＝P (A )P (B )＝45×34＝3
5，故至少有一项合格的概率为P ＝1－P (A B )＝2
5，故选D.
4．(2010·湖北理，4)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )
A.5
12 B.12 C.7
12
D.34
[答案] C
[解析] 由题意P (A )＝12，P (B )＝1
6，事件A 、B 中至少有一个发生的概率P ＝1－12×56＝7
12.
5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )
A ．p 1p 2
B ．p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)
C ．1－p 1p 2
D ．1－(1－p 1)(1－p 2) [答案] B
[解析] 设甲解决问题为事件A ，乙解决问题为事件B ，则恰有一人解决为事件A B ＋A B ，由题设P (A )＝p 1，P (B )＝p 2，∴P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )
＝(1－p 1)p 2＋p 1(1－p 2)．
6．从甲袋内摸出1个白球的概率为1
3，从乙袋内摸出1个白球的概率是12，从两个袋内各摸1个球，那么概率为5
6的事件是( )
A ．2个球都是白球
B ．2个球都不是白球
C ．2个球不都是白球
D ．2个球中恰好有1个白球 [答案] C
[解析] 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独
立，故两个球都是白球的概率为P 1＝13×12＝1
6，∴两个球不都是白球的概率为P ＝1－P 1＝5
6.
7．(2010·广州模拟)在一段时间内，甲去某地的概率是1
4，乙去此地的概率是1
5，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内，至少有1人去此地的概率是( )
A.3
20 B.15
C.25
D.920
[答案] C
[解析] 解法一：考查相互独立事件的概率公式．设“甲去某地”为事件A ，“乙去某地”为事件B ，则至少1人去此地的概率为P ＝P (A )·P (B －)＋P (A －)P (B )＋P (A )·P (B )＝14×45＋34×15＋14×15＝2
5.故选C.
解法二：考查对立事件P ＝1－P (A －)·P (B －)＝1－34×45＝25.
二、填空题
11．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为1
2，乙生解出它的概率为13，丙生解出它的概率为1
4. 由甲、乙、丙三人独立解答此题只
有一人解出的概率为________．
[答案] 11
24
[解析] 甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A 1，则P (A 1)＝1
2×⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－14＝14， 乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A 2，则P (A 2)＝13×⎝ ⎛
⎭⎪
⎫1－12×⎝
⎛
⎭
⎪⎫1－14＝18，
丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A 3，则P (A 3)＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝
⎛
⎭⎪⎫1－13＝112. 甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P (A 1＋A 2
＋A 3)＝14＋18＋112＝1124.
12．(2010·重庆文，14)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、1
68，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为__________．
[答案] 3
70
[解析] 本题考查独立事件，对立事件有关概率的基本知识以及计算方法．
设加工出来的零件为次品为事件A ，则A 为加工出来的零件为正品．
P (A )＝1－P (A )＝1－(1－170)(1－169)(1－168)＝3
70. 三、解答题
14．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
[解析] (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则
P (A )＝C 26C 14＋C 36
C 310
＝60＋20120＝23，
P (B )＝C 28C 1
2＋C 38
C 310
＝56＋56120＝1415.
(2)方法1：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1415 ＝1
45.
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P (A ·B )＝1－145＝44
45.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为44
45.
方法2：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人至少有一人
考试合格的概率为
P ＝P (A ·B )＋P (A ·B )＋P (A ·B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为44
45.
16．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：在三门课程中，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a 、b 、c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．
(1)分别求应聘者用方案一和方案二时，考试通过的概率； (2)试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小(说明理由)．
[解析] 记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A 、B 、C ，则P (A )＝a 、P (B )＝b 、P (C )＝c .
(1)应聘者用方案一考试通过的概率
P 1＝P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＝ab (1－c )＋bc (1－a )＋ac (1－b )＋abc ＝ab ＋bc ＋ca －2abc ，
应聘者用方案二考试通过的概率为
P 2＝13P (A ·B )＋13P (B ·C )＋13P (A ·C )＝13(ab ＋bc ＋ca )；
(2)因为a 、b 、c ∈[0,1]，所以P 1－P 2＝23(ab ＋bc ＋ca )－2abc ＝2
3[ab (1－c )＋bc (1－a )＋ac (1－b )]≥0，故P 1≥P 2.即采用第一种方案，该应聘者通过的概率大．。