…
电动力学中的泰勒展开问题
物理系同学们在学习电动力学和量子力学的过程中会碰到对类似()f x y -展开的问题，初学者可能会对此类函数的展开感到困惑，对此，自己课下之余整理了一下，希望能对同学们的学习带来帮助。

以下讨论主要针对的是电动力学中的极矩问题，源点与场点统一规定为用x '和x 来表示。

对于多元函数泰勒展开，例如(),f x y ，有
(),f x y ()00,f x y =()()()0000,x x y y f x y x y ⎡⎤∂∂+-+-⎢⎥∂∂⎣
⎦ ()()()200001,2!x x y y f x y x y ⎡⎤∂∂+-+-+⎢⎥∂∂⎣⎦ （1）
其中展开中心为()00,x y .对于函数()f x x '-，它是x x '-的函数，展开时需要指出其
展开中心是源点x '还是场点x .
1 若在0x x '=处展开，则
()f x x '-
}
()()()()()(){}()20000012!f x x x x x x f x x x x x x f x x ''=-+---⋅∇-+---⋅∇-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
=()()()()()20000012!f x x x x f x x x x f x x ''-+-⋅∇-+
-⋅∇-+⎡⎤⎣⎦ (2)
其中，()()()
ˆˆˆi j k x x y y z z ∂∂∂∇=++'''∂-∂-∂-， 下同. 由于()f x x '-是在x '为小量的情况下展开的，为了计算方便，(2)式的0x 可取为原点，
即x '=0，此时，(2)式便成为电势多级展开中常见的形式，即
()()()()()()212!f x x f x x f x x f x '''-=+-⋅∇+-⋅∇+ (3) 2 若在0x x =处展开，则同理可得
()f x x '-
()()()()()(){}()20000012!f x x x x x x f x x x x x x f x x '''''''=-+---⋅∇-+
---⋅∇-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ；
=()()()()()2
0000012!f x x x x f x x x x f x x '''-+-⋅∇-+
-⋅∇-+⎡⎤⎣⎦ (4)
对在0x x =处展开时， x '此时是变化的， ∇算符可换为对源点的'∇算符.
即，∇=-'∇，
代入(4) 式得，
()f x x '-()()()()()20000012!f x x x x f x x x x f x x '''''=---⋅∇-+
--⋅∇-+⎡⎤⎣⎦ (5) 同理，若0x =0，(5)式变成为
()f x x '-()()()()212f x x f x x f x '''''=--⋅∇-+
-⋅∇-+ (6) 但由于在一般情况下，源一般占有小空间，对场点展开的情况并不常见.
-
总结：
以上的推导过程较为仔细，目的就是为了能够帮助低年级的师兄弟们再熟悉一下
所学过的泰勒公式，学物理的过程中要不断地为自己补充数学知识，有了较为完备的数学工具，才能让自己的物理知识有扩展下去的可能。