光波导数值模拟方法
介质光波导是利用介质的折射率差来限制光场，从而引导和控制光波传播的一种结构，是光波导器件中的最基本构成成分。

常见的波导主要有光纤和平面波导两种，本文主要针对应用于平面集成光路的平面光波导进行讨论。

平面光波导主要有两种结构，即平板波导（二维结构）和条形波导（三维结构）两种[46], 如图2.1所示。

平板波导如图2.1a 所示，在垂直于光波传播方向（z 方向）的截面上，只在纵向（x 方向）上受到限制，而在横向上（y 方向）可以无限延伸，是完全均匀的。

而条形波导，如图2.1b ，则是在两个方向（x ，y 方向）同时受到限制。

通常实际光器件都是建立在条形波导的基础上的，平板波导由于在横向上缺乏对光的约束，只在很少情况下（如AWG 的自由传输区）才会用到。

但是从平板这种更加简单的二维结构入手，可以更方便于对波导特性的研究。

图2.1 两种平面波导结构：（a ）平板波导，（b ）条形波导
平板光波导理论
假设现有一平板波导由三种介质组成，如图2.2所示，上包层折射率为n c （x >a ），衬底折射率n s ，（x <-a ），芯层折射率n f （-a <x <a ），平板芯层厚度为2a 。

传统的射线理论认为，光线在波导中传播时，将会在上下两个界面中发生全反射，以此也可得出波导存在导波模式的最基本条件：n f >n s ，n c 。

那么，当光线入射到界面的角度满足max(sin(),sin())c f s f arc n n arc n n θ>，光线就能同时在两个界面都发生全内反射，从而被束缚在波导之中。

同时，为了使得光线能在波导中稳定传输，还必需满足光线在两个界面之间往返一次的总相位变化是2π的整数倍。

于是根据以上这些条件，就可以求出对应于某一波长（真空中波矢为k 0）的光线所需满足的入射角θ，从而求出其传播常数，即传播方向上的波矢分量，0sin f k n βθ=，以及与该传播模式对应的等效折射率0eff n k β=，在此不再赘述。

图2.2 平板波导内光线传播示意图
本文主要从波动理论来分析平板波导中的导波模式。

波导理论是以麦克斯韦方程（Maxwell ）组为着眼点，把平板波导中的传播模式看作是满足平板波导边界条件的麦克斯韦方程组的解[47]。

麦克斯韦方程组包含以下几个方程：
,B E t
∂=−∇×∂G G (2.1a) ,D H J t
∂=∇×−∂G G G (2.1b) ,D ρ∇⋅=G (2.1c)
0.B ∇⋅=G (2.1d)
进一步假设电磁场是时谐的，即有
(,)(),j t E r t E r e ω=G G G G (2.2a)
(,)().j t H r t H r e ω=G G G G (2.2b)
从而可以得到时谐电磁场情况下的Maxwell 方程组：
0,E j H ωμ∇×=−G G (2.3a)
.H j E ωε∇×=G G (2.3b)
将各矢量按空间分量展开成如下两组方程：
000y z x
x z y y x z E E j H y z E E j H z
x E E j H x y ωμωμωμ∂⎧∂−=−⎪∂∂⎪∂∂⎪−=−⎨∂∂⎪∂⎪∂−=−⎪∂∂⎩
(2.4a) y z x
x z y y x z H H j E y z H H j E z
x H H j E x y ωεωεωε∂⎧∂+=−⎪∂∂⎪∂∂⎪−=⎨∂∂⎪∂⎪∂−=⎪∂∂⎩
(2.4b) 由于该平板波导在y 方向上是均匀的，因而可以得到0y ∂∂=。

并且，设光场沿着传播方向z 的变化可以用一个传输因子exp(j βz )来表示。

那么，以上各式子中z ∂∂均可转换为-j β。

于是以上方程组2.4可以写成两组自洽类型的解，其中一组
电场矢量只包含E y ，称为横电模或TE 模，见方程组2.5a 。

另一组磁场矢量只包含H y ，称为横磁模或TM 模，见方程组2.5b 。

下面分别讨论两种情况下的解的形式。

00y x y z z x y E H E j H x H i H j E x ωμβωμβωε⎧=−⎪⎪∂⎪=−⎨∂⎪∂⎪−−=⎪∂⎩
(2.5a) 0y x
z z x y H E Hy j E x E j E j H x ωεβωεβωμ⎧=⎪⎪∂⎪=⎨∂⎪∂⎪−−=−⎪∂⎩
(2.5b) 1．TE 模
对于TE 模式，由于电场只存在E y 分量，故可得到如下波动方程：
222202()0y
y E k n x E x β∂⎡⎤+−=⎣⎦∂ (2.6)
对于平板波导三个不同区域，分别将折射率代入方程2.6，可以得到对应于三个区域的波动方程：
2222022222022222020,0,0,y c y y f y y s y E k n E x a x E k n E x a x E k n E x a x
βββ⎧∂⎡⎤+−=>⎪⎣⎦∂⎪⎪∂⎡⎤+−=<⎨⎣⎦∂⎪⎪∂⎡⎤+−=<−⎪⎣⎦∂⎩ (2.7) 根据解的物理意义，可以预见在导波层内会形成驻波，用余弦函数表示，而在覆盖层、衬底层内则是倏逝波，用衰减的指数函数表示，故可以将解的形式写为：
[][]exp (),()cos(),exp (),c y f s A p x a x a E x A hx x a A q x a x a
ϕ⎧−−>⎪=−<⎨⎪+<−⎩ (2.8)
其中p 、h 、q 定义如下：
222202222022220c s f p k n q k n h k n βββ
⎧=−⎪=−⎨⎪=−⎩ (2.9)
并且p 、h 、q 均为正实数。

在边界x ＝±a 处，切向分量E y 、H Z 连续，并且一阶导数也连续，将此边界条件代入方程组2.8，可以得到：
（1）x ＝-a 处，
cos()sin()f s f s
A ha A hA ha qA ϕϕ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ (2.10) （2）x ＝a 处，
cos()sin()f c f
c A ha A hA ha pA ϕϕ−=⎧⎪⎨−=⎪⎩ (2.11) 分别将方程组2.10以及2.11上下两式相除，约掉A f 、A s 和A c ，可得：
tan(),q ha h
ϕ+= (2.12) 以及
tan().p ha h
ϕ−= (2.13) 根据三角函数的周期性，可以得到以下两个特征方程：
112tan ()tan (),q p ha m h h
π−−=++ (2.14a) 112tan ()tan (q p m h h
ϕπ−−=+− (2.14b) 上式是一个关于传播常数β的超越方程，也即平板波导的特征方程。

通过数值方法即可求出对应不同模式的传播常数和等效折射率，以及相应的场分布。

2．TM 模
TM 模的求解方式完全与TE 模类似，其对于H y 分量的波动方程如下： 222202()0y
y H k n x H x β∂⎡⎤+−=⎣
⎦∂ (2.15) 与TE 模类似的，
我们也可以给出TM 模在平板波导三层介质中的解的形式： [][]exp (),()cos(),exp (),c y f s B p x a x a H x B hx x a B q x a x a
ϕ⎧−−>⎪=−<⎨⎪+<−⎩ (2.16)
其对应边界条件为：在x ＝±a 处，切向分量H y 、E Z 连续，并且一阶导数也连续，将此边界条件代入方程组2.16，可以得到：
（1）x ＝-a 处，
2
2cos()sin()f s f f s
s B ha B n hB ha qB n ϕϕ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩
(2.17) （2）x ＝a 处，
2
2cos()sin()f s f f s
s
B ha B n hB ha qB n ϕϕ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ (2.18) 同样将以上两组方程组上下两式相除，得到 2
2
11222tan ()tan (),
f f s c
n q n p
ha m n h n h π−−=++
(2.19a) 22
11222tan ()tan ().f f s c n q
n p
m n h n h
ϕπ−−=+− (2.19b)
方程2.19即TM 模式下平板波导的特征方程。