考研数学习题课讲义第一讲 函数、极限与连续2016年大纲解读考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数, 基本初等函数的性质及其图形, 初等函数函数关系的建立; 数列极限与函数极限的定义及其性质, 函数的左极限与右极限; 无穷小量和无穷大量的概念及其关系, 无穷小量的性质及无穷小量的比较; 极限的四则运算, 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： ll ll llxx→00ssll ss xx xx=11, ll ll ll nn→∞�11+11nn �nn =ll ll ll xx→∞�11+11xx �xx=ee .函数连续的概念, 函数间断点的类型, 初等函数的连续性, 闭区间上连续函数的性质.考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。

2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。

6. 掌握极限的性质及四则运算法则。

7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。

9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

知识细节：1. 确定函数的几种方式:(1) 显函数 (2) 隐函数 (3) 参数方程(4) 幂指函数(对数恒等式) yy =ff (xx )gg (xx )=ee gg (xx )ll ss ff (xx ) (5) 变限积分函数 yy =∫ff (tt )ddtt xxaa 或 yy =∫ff (tt )ddtt φφ(xx )aa(6) 由极限确定的函数: yy =ll ll ll nn→∞ff (xx ,nn ) 或 yy =ll ll ll tt→xxff (xx ,tt )2. 几个关于函数的性质的结论(1) 设 f (x ) 在区间[−l , l ]上有定义, 则 f (x ) + f (−x )为偶函数, f (x ) − f (−x ) 为奇函数.(2) 设 f (x ) 为可导的偶函数(或奇函数), 则 f ′(x ) 为奇函数(或偶函数); 若 f (x ) 为可导的周期函数, 则 f ′(x ) 为同周期的周期函数.(3) 设 f (x ) 连续, FF (xx )=∫ff (tt )ddtt xx00+CC (C 为任意常数), 则 f (x ) 为奇函数 ⇔ F (x ) 为偶函数; 若 f (x ) 为偶函数, 则只有 ∫ff (tt )ddtt xx00 是奇函数.[说明: 周期函数的原函数不一定是周期函数, 如 f (x ) = cos x + 1 的周期为 2π, 但 F (x ) = sin x + x 不是周期函数.](4) 单调函数的导数和原函数不一定是单调函数. 3. 关于极限的运算法则的说明(1) 极限的四则运算法则的前提(和差积商可拆)是各部分的极限存在(处理的依然是类似于数的运算法则----有限可算, 拆开时部分式不能有∞, 分母不能出现0);(2) 凡是极限中出现有悖于数的运算法则的, 均要按极限的方式处理(未定式极限);(3) 若 lim f (x ) 与 lim g (x ) 一个存在一个不存在, 则 lim[ f (x ) ± g (x )]一定不存在; 若 lim f (x ) 与 lim[ f (x ) ± g (x )] 都存在, 则 lim g (x )一定存在; 若 lim f (x ) 与 lim g (x ) 一个存在一个不存在, 则 lim f (x )g (x ) 可能存在也可能不存在, 若存在时一般为0(有界量与无穷小的乘积还是无穷小)[两个都不存在时lim f (x )g (x )可能存在也可能不存在].(4) 幂指函数极限运算常用公式: ll ll ll ff (xx )gg (xx )=AA BB (ll ll ll ff (xx )=AA >00,ll ll ll gg (xx )=BB ); ll ll ll uu (xx )→00vv (xx )→∞(11+uu (xx ))vv (xx )=eell ll ll uu (xx )vv (xx ).(1∞)4. 几个常用结论(1)>∞<==++++++−−∞→mn m n m n b a bx a x b a x a x a m m m n n n x ,,0,lim 01010010100(2) 几个常见易出错的不存在极限: ;arctan lim ;lim x e x x x ∞→∞→xe x xx 1arctanlim ;lim 010→→及它们的变形 (3) 常用的数列极限: ll ll ll nn→∞√aa nn=11(aa >00),ll ll ll nn→∞√nn nn=11.(4) 无穷小的和差运算规则: 和差取大(低阶)常考题型及其解法与技巧题型一 求函数表达式注意: 在利用给定条件求复合函数的表达式时, 注意换元与迭代的思想.例1 设,1||,01||,1)(>≤=x x x f 则 f {f [ f (x )]}等于 ( ). (A) 0 (B) 1 (C) ,1||,01||,1>≤x x (D) ,1||,11||,0>≤x x 例2 设 gg (xx )=�22−xx ,xx ≤00xx +22,xx >00,ff (xx )=�xx 22,xx <00−xx ,xx ≥00, 则g [f (x )] = _______.练习 设 ff (xx )=�xx , xx ≤00xx +xx 22,xx >00, 则 f [ f (x )] = _____________________.题型二 对函数性质的理解例2 当 x → 0 时, ff (xx )=11xx 22ssll ss 11xx 是 ( ).(A) 无穷小量 (B) 无穷大量(C) 有界但非无穷小量 (D) 无界但非无穷大量例3 设 f (x ) 是连续函数, F (x ) 是 f (x ) 的一个原函数, 则 ( ). (A) 当 f (x ) 是奇函数时, F (x ) 必是偶函数 (B) 当 f (x ) 是偶函数时, F (x ) 必是奇函数(C) 当 f (x ) 是周期函数时, F (x ) 必是周期函数(D) 当 f (x ) 是单调增加函数时, F (x ) 必是单调增加函数练习(1) 设 f (x ) 是奇函数, 除 x = 0 外处处连续, x = 0 为其第一类间断点, 则∫xt t f 0)(d 是(A) 连续的奇函数 (B) 连续的偶函数 (C) 在 x = 0 间断的奇函数 (D) 在 x = 0 间断的偶函数 (2) 设f (x )连续, 则下列函数中, 必为偶函数的是∫x t t f A 02)()(d ∫xt t f B 02)()(d∫−−x t t f t f t C 0)]()([)(d ∫−+xt t f t f t D 0)]()([)(d题型三 数列的极限一、 对概念、性质的理解注意: 此类问题主要考查对极限定义与性质的理解, 一般借助于极限存在的几何意义处理更有效；另外要注意几个基本的结论：子列原理、单调有界原理. 例4 数列{x n } 收敛于实数 a 等价于 ( )(A) 对任给 ε > 0, 在 (a − ε, a + ε) 内有数列的无穷多项 (B) 对任给 ε > 0, 在 (a − ε, a + ε) 内有数列的有穷多项 (C) 对任给 ε > 0, 在 (a − ε, a + ε) 外有数列的无穷多项 (D) 对任给 ε > 0, 在 (a − ε, a + ε) 外有数列的有穷多项例 5 设函数 f (x ) 在 (−∞, +∞) 内单调有界, {x n } 为数列, 下列命题正确的是 ( ).(A) 若 {x n } 收敛, 则 {f (x n )} 收敛 (B) 若{x n } 单调, 则 {f (x n )} 收敛 (C) 若{f (x n )} 收敛, 则 {x n } 收敛 (D) 若{f (x n )} 单调, 则 {x n } 收敛 练习(1) “存在正数 ε0, 使满足 |xx nn −AA |≥εε00的 x n 有无穷多项”是数列{x n }不收敛于 A 的 ( ).(A) 充分必要条件 (B) 必要但非充分条件 (C) 充分但非必要条件 (D) 既非充分又非必要条件(2) 设数列{x n }是数列, 下列命题不正确的是( ).(2015年数学三) (A) 若 ll ll ll nn→∞xx nn =aa , 则ll ll ll nn→∞xx 22nn =ll ll ll nn→∞xx 22nn+11=aa ;(B) 若ll ll ll nn→∞xx 22nn =ll ll ll nn→∞xx 22nn+11=aa , 则ll ll ll nn→∞xx nn =aa .(C) 若 ll ll ll nn→∞xx nn =aa , 则ll ll ll nn→∞xx 33nn =ll ll ll nn→∞xx 33nn+11=aa ; (D) 若ll ll ll nn→∞xx 33nn =ll ll ll nn→∞xx 33nn+11=aa , 则ll ll ll nn→∞xx nn =aa .二、 通项是 n 项和的数列的极限 设 xx nn =∑aa ii nn ii=11, 求 ll ll ll nn→∞xx nn .一般解法:(1) 求出和的通项(相对简单:拆项相消、等比数列等); (2) 定积分定义(注意转换) ∑ff (ξξii )ΔΔxx ii nn ii =11→∫ff (xx )ddxx bbaa ; (3) 夹逼准则.例 6 求下列数列的极限:(1) ll ll ll nn→∞�11�nn +11+11�nn +22+⋯+11�nn +nn �(2) ll ll ll nn→∞11nn �11�nn +11+nn+22�nn +22+nn+⋯+nn�nn +nn+nn�练习(1) 求 ll ll ll nn→∞�11nn 22+11+22nn 22+22+⋯+nnnn 22+nn � ;(2) 求 ll ll ll nn→∞�ssll ssππnnnn+11+ssll ss22ππnn nn+11+⋯+ssll ss ππnn+11�三、 通项是 n 项乘积的数列的极限设 xx nn =∏aa ii nn ii=11, 求 ll ll ll nn→∞xx nn .一般解法: (1) 求出积的通项; (2) 利用对数化为和的形式; (3) 夹逼准则. 例7 求下列数列极限(1) ll ll ll nn→∞11nn �nn (nn +11)(nn +22)…(22nn −11)nn(2) ll ll llnn→∞11∙33∙55∙… ∙(22nn−11)22∙44∙66∙… ∙(22nn )四、 通项由递推公式给出的数列的极限设 xx nn+11=ff (xx nn ), 求ll ll ll nn→∞xx nn . (注意: 通项也可能是其他形式).一般解法: 先利用单调有界原理证明极限存在, 再令ll ll ll nn→∞xx nn =aa , 通过递推公式解方程求出极限.例8 (2006年数学一) 数列 {x n } 满足 0 < x 1 < π, x n +1 = sin x n (n = 1, 2, …). (1) 证明 n n x ∞→lim 存在, 并求其极限;(2) 计算 .lim 211nx n n n x x+∞→练习(1) 设 x 1 > 0, x n +1 = 11−ee −xx nn , n = 1, 2, ….(i) 证明 n n x ∞→lim 存在, 并求其极限;(ii) 计算ll ll ll nn→∞xx nn xxnn+11xx nn−xxnn+11.(2) 设 a > 0, x 1 > 0, 且定义 xx nn+11=1144�33xx nn +aaxx nn33�(nn =11,22,…), 证明当 n →∞时,数列 {x n } 的极限存在并求出该极限值.五、 利用函数的极限求数列极限注意: 一般是含有 n 的未定式极限, 应该按数列极限处理, 若用到罗比达法则, 最好先求出 x →+∞ 时的极限, 再利用函数极限与数列的极限关系(结论也可以用来说明极限不存在)得出结果.例9 .arctan 2lim nn n∞→π练习求 ll ll ll nn→∞nn �ee �11+11nn �−nn−11�.题型四 函数的极限一、分段函数的极限求分段函数在分段点处的极限, 要利用:.)(lim )(lim )(lim 0A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=−+→→→例11 (2000年数学一) 求.||sin 11lim /4/10+++→x x x x x e e例12 当 x → 1 时, 函数xx 22−11xx−11ee11xx−11的极限为 ( ).(A) 2 (B) 0 (C) ∞ (D) 不存在二、未定式极限未定式的类型: “0000,∞∞; ∞−∞,00∙∞; 11∞,0000,∞00”. 注意各部分均为极限、罗比达法则不是万能的(先确定极限的类型，再考虑方法，一定要与数的运算分开).1.0000,∞∞型未定式常用方法: 无穷小的等价代换(代换原则: 因式替代); 罗比达法则(注意条件, 使用罗比达法则后及时整理并分离出极限存在的因式); 无穷大转换为无穷小等. 例13 求.)(arcsin arcsin lim3x xx x −→例14 求.ln ln lim 2xt dt x xx ∫+∞→例15 求.sin 114lim 22xx x x x x +++−+−∞→例16 求.)1ln()cos 1(1sin)cos 1(sin 3limx x x x x x ++−+→练习：求下列极限 (1) 213lim21−++−−→x x xx x(2) .13cos 21lim 3−+→x x x x(2004年数学二) (3) 30sin arctan lim x xx x −→(2007年数学二) (4) ll ll llxx→−∞�33xx 22+xx−11+xx−11�xx +ccccss xx2. ∞−∞,00∙∞型未定式方法: 转化为 0000,∞∞ 型(通分、构造分母等)例17 求.11ln lim 2+−∞→x x x x例18 求.2arctan 2lim 22x x x −∞→π练习: 求下列极限(1) .cos sin 1lim 2220−→x x x x (2) .lim−−++∞→x x x x x3. 11∞,0000,∞00型未定式方法: 非1∞类型常使用对数恒等式(或取对数后化为00∙∞型未定式).uu (xx )vv (xx )=ee vv (xx )ll ss uu (xx ).; 1∞类型: ll ll ll uu (xx )→00vv (xx )→∞(11+uu (xx ))vv (xx )=eell ll ll uu (xx )vv (xx ).例19 求.arcsin lim 210x x x x→例20 求.lim ln 10xkx x+→+例21 求ll ll ll xx→+∞(ll ss xx )11xx−11练习: 求下列极限(1) )1ln(12)(cos lim x x x +→(2003年数学一)(2) .sin 1tan 1lim 310x x x x++→三、极限的综合题说明: 这类题目涉及面稍微广泛, 比如导数的定义、已知一个极限求另一个极限等。