和B同类(即均为线段、角或面积等), C和D同类.
如果对于任何两个正整数 m 和n ,关系m A n B 是否成立, 相应地取决于关系m C n D是否成立, 则称A与B 之比等于C与D 之比,即四量 A, B, C, D 成比例.
比例论举例
定理: 如果两个三 角形的高相等, 则它 们的面积之比等于两 底长之比
公设： 1. 从任意一点到任意一点可作一直线； 2. 线段可任意延长； 3. 以任意中心和直径可以作圆； 4. 凡直角都彼此相等； 5. 若一条直线与两直线相交，所构成的同旁内角和小 于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小 于两直角的一侧相交。
公理： 1. 等于同量的量彼此相等； 2. 等量加等量，和相等； 3. 等量减等量，差相等； 4. 彼此重合的图形是全等的； 5. 整体大于部分。
三等分角: 即分任意角为三等分 西比阿斯：发明 “割圆曲线”. 如果这种曲线能够作出，那么它不但能够三等分角，而 且可以任意等分角，并且也可以用来化圆为方。 • 1837年法国数学家旺泽尔(P.L.Wantzel) 在代数方程论基础 上证明了倍立方和三等分角不可能用尺规作图。
2、无限性概念的早期探索
（3）雅典时期
• 伊利亚学派 代表人物：芝诺；
主要贡献：芝诺悖论 • 巧辩学派 代表人物：希比阿斯(Hippias,c.BC.460)、 安提丰(Antiphon,c.BC.480--BC.411) ,布里松 主要贡献：三大几何作图问题 • 柏拉图学派(雅典学院) 代表人物：柏拉图(Plato,BC.427-BC.347)、 梅内赫莫斯(Menaechmus)、 蒂诺斯特拉图斯(Dinostratus)、 欧多克斯(Eudoxus,c.BC.408--BC.347) 主要贡献：倡导逻辑演绎结构 • 亚里斯多德学派(吕园学派) 代表人物：亚里士多德(Aritotle,BC.383-BC.322) 欧多谟斯 主要贡献：倡导逻辑演绎结构。
1
2
b
c
a
1
c a b
2 2
2
勾股定理导致了无理量的发现. 假设直角三角形是等腰的,直 角边是1，那么弦是 2 ，它不可能用任何的“数”(有理数) 表示出来，即直角边与弦是不可通约的．
无理数的发现
x 2 y
x、y互素
x 2y x 2z
2
2
4z 2 y
2
2
y 2z
2
2
x、y均为偶数
正方形数：N =1+3+5+7+….+(2n-1) ; 五边形数：N =1+4+7+….+(3n-2)= n(3n-1) /2 ; 六边形数：N =1+5+9+….+(4n-3)=2n2-n . 这是一些等差数列。可以推广到三维空间去构造多面体数。 “形数”体现了数与形结合的思想。
数形结合的另一个典型例子: (m2 -1) / 2 , m , (m2 +1) / 2 ( m 为奇整数) 给出的毕达哥拉斯三元数组，它们分别表示一个直角三角形 的两条直角边和斜边，与勾股定理密切相关。这一公式未能 给出全部毕达哥拉斯数组。
（二）亚历山大时期

（1）欧几里得(约300B.C.前后) （2）阿基米德(287-212B.C.) （3）阿波罗尼奥斯(约262-190B.C.)
欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。其伟 大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典 范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可 以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织 起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在 一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。《几何原本》 体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。 阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象的理论 和工程技术的具体应用结合起来，又在实践中洞察事物的 本质，通过严格的论证，使经验事实上升为理论。他根据 力学原理去探求解决面积和体积问题，已经包含积分学的 初步思想。 阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的深入研究。
倍立方: 即求一个立方体,使其体积等于已知立方体的两倍
x 3 2a 3
希波克拉底: 对问题的简化是问题的关键进展. 指出倍立方问题可以化为求一线段与它的二倍长线段之间 的双重比例中项问题,即：
a : x x : y y : 2a
梅内赫莫斯: 圆锥曲线的发现(约360B.C.)； 双重比例中项关系等价于方程：
芝诺（约公元前490－前430）悖论 ： （1）两分法 （2）阿基里斯 （3）飞箭不动 （4）运动场问题 芝诺 Zeno
③飞箭静止说，每一瞬间箭总 在一个确定的位臵上，因此它是 不动的。
芝诺悖论: 飞矢不动
s, t
时刻t
运动场问题，芝诺论证了时间和它的一半相等。
注：前两个悖论针对于事物无限可分的观点，而后两个则矛 头直指不可分无限小量的思想。
比例定义：A，B；C，D 对任何正整数m和n，关系 m A n B ↔ m C n D BmC=m(BC)，△ABmC=m(△ABC)；
DEn=n(DE) ，△ADEn=n(△ADE)。
由已证明的结果,可知 △ABmC △AEnD ↔BmC EnD 也就是说 m(△ABC) n(△AED) ↔m(BC) n(ED)
Aristotle
亚里士多德，古希腊著名哲学家、 自然科学家，西方文艺理论的真正 奠基者。公元前384年生于爱琴海 北岸的哈尔基迪凯半岛上的达吉罗 斯，其父是马其顿国王阿明塔斯二 世的御医。母亲法伊斯提来自优卑 亚岛的哈尔基斯。亚里士多德早年 丧父，由监护人“抚养”。17岁赴 雅典就读于柏拉图的“学园”，受 教20年。为学员中出类拔萃者。 柏拉图去世后，亚里士多德曾受 马其顿王之聘，教育太子亚历山大。 回雅典后，亚里士多德在吕刻翁自 立学园，专心教育和著述，经常在 走廊边走边讲授，后世称他的弟子 为“逍遥学派”。恩格斯称他是古 代“最博学的人”。

（1）泰勒斯（约625-547B.C.）
证明四条定理； 泰勒斯定理: 半圆上的圆周角是直角； 预报日蚀 (585B.C.)；测量金字塔的高等。
他是一位圣 贤，又是一位天 文学家，在日月 星辰的王国里， 他顶天立地、万 古流芳。
泰 勒 斯

（2）毕达哥拉斯（约580-500B.C.）
萨摩斯岛 —> 克洛托内 毕达哥拉斯定理(勾股定理) ; 正多面体; 黄金分割; “万物皆数”；不可公度量。
毕达哥拉斯学派的形数
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三角形数： N =1+2+3+…+n = n (n +1) / 2 ;
欧 几 里 得 ， 约 公 元 前 300
欧原意是指 一个学科中最重要的定理
现存著作：《原本》、《数据》、《论剖分》、 《现象》、《光学》和《镜面反射》等。 失传著作：《圆锥曲线》、《衍论》、《曲面轨迹》、 《辩伪术》等。

历史上第一个公理体系 13 卷 119 条定义 5 条公理, 5 条公设 465 条定理
a / A d 2 / D2
勾 股 定 理 的 证 明

缺陷:
(1) 某些定义借助于直观或含混不清； (2) 公理系统不完备.

1482 第一个拉丁文印刷本(威尼斯) 1607 中译本<几何原本>(徐光启,利玛窦)
阿 基 米 德 ， 公 元 前 287 ｜ 前 212
（1）阿基米德的著作
数学的理论化倾向
1、三大几何作图问题：
化圆为方、倍立方、三等分任意角。问题的难处，是作 图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。 化圆为方: 即作一个与给定的圆面积相等的正方形
安纳萨哥拉斯(约BC.500--BC.428)
希波克拉底：解决了化月牙形为方 安提芬： 首先提出用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆 为方。他从圆内接正方形开始，将边数逐次加倍，并一直 进行下去，则随着圆面积的逐渐“穷竭”，将得到一个边 长极其微小的内接正多边形。1882林德曼π的超越性。
卷 I, II, III, IV 及 VI : 平面几何基本内容 卷 V : 比例论 无理量引起的麻烦之回避 卷 VII, VIII, IX : 数论 卷 X : 不可公度量分类
a b 卷 XI, XII, XIII : 立体几何 穷竭法(卷 XII)
比例的定义：设 A, B, C, D是任意四个量, 其中A
毕达哥拉斯定理：
a b c c b a a b c a a
b
a
b
a
Plutarch(约46--120)的面积证明法
毕 达 哥 拉 斯 ， 约 前 580 ｜ 前 500
正多面体作图
五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十 二面体和正二十面体。五种正多面体的作图都与毕达哥 拉斯学派有关，前三种归功于毕氏学派，后两种为毕氏 学派晚期学生所作。
不可公度量(无理数的发现)
任何量都可以表示成两 个整数之比。在几何上就是： 对于任何两条给定的线段， 总能找到第三条线段，以它 为单位能将给定的线段划分 为整数段。希腊人称这两条 线段为“可公度量”，意即 为有公共的度量单位。
第一次数学危机
2 是一个不可公度的数
希帕苏斯 Hippasus(公元前470年左右）
据比例定义，有△ABC :△ADE＝BC : DE
穷竭法举例