１．２充分条件与必要条件学习目标核心素养１．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．（重点、难点）２．会求（判断）某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．（重点）３．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．（难点）１．通过充分条件、必要条件概念的学习，培养学生的数学抽象素养．２．借助充分条件，必要条件的判断及应用，提升学生的逻辑推理素养．１．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件（２）以下五种表述形式：１p⇒q；２p是q的充分条件；３q的充分条件是p；４q是p的必要条件；５p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？[提示] （１）相同，都是p⇒q．（２）等价．２．充要条件（１）一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．（２）若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．（３）若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．（４）若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．（５）从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件；若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A B且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件思考２：（１）若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？（２）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示] （１）正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q．（２）１p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．２p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．１．“x＞0”是“错误!＞0”成立的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．既不充分也不必要条件Ｄ．充要条件A[当x＞0时，错误!＞0成立；但当错误!＞0时，得x２＞0，则x＞0或x＜0，此时不能得到x ＞0．]２．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是（）Ａ．“ac>bc”是“a>b”的必要条件Ｂ．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件Ｃ．“ac<bc”是“a<b”的充分条件Ｄ．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件B[若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．]３．“|x—２|≤３”是“—１≤x≤５”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件C[由|x—２|≤３得—１≤x≤５，故选Ｃ．]４．下列各题中，p是q的充要条件的是________（填序号）．１p：b＝0，q：函数f（x）＝ax２＋bx＋c是偶函数；２p：x>0，y>0，q：xy>0；３p：a>b，q：a＋c>b＋c．１３[在１３中，p⇔q，所以１３中p是q的充要条件，在２中，q p，所以２中p不是q的充要条件．]充分条件、必要条件、充要条件的判断必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）．（１）在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；（２）对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠２或y≠6；（３）p：（a—２）（a—３）＝0，q：a＝３；（４）p：a＜b，q：错误!＜１．思路探究：判断p⇒q与q⇒p是否成立，当p、q是否定形式，可判断q是p的什么条件．[解] （１）在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件．（２）因为x＝２且y＝6⇒x＋y＝8，即q⇒p，但p q，所以p是q的充分不必要条件．（３）由（a—２）（a—３）＝0可以推出a＝２或a＝３，不一定有a＝３；由a＝３可以得出（a—２）（a—３）＝0．因此，p是q的必要不充分条件．（４）由于a＜b，当b＜0时，错误!＞１；当b＞0时，错误!＜１，故若a＜b，不一定有错误!＜１；当a＞0，b＞0，错误!＜１时，可以推出a＜b；当a＜0，b＜0，错误!＜１时，可以推出a＞b．因此p是q的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断方法（１）定义法（２）等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．（３）逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若p⇒q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若p⇒q，且q p，则p是q的必要不充分条件；若p⇔q，则p与q互为充要条件；若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．错误!１．（１）设x∈R，则“错误!＜错误!”是“x３＜１”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件A[由错误!＜错误!得—错误!＜x—错误!＜错误!，解得0＜x＜１．由x３＜１得x＜１．当0＜x＜１时能得到x＜１一定成立；当x＜１时，0＜x＜１不一定成立．所以“错误!＜错误!”是“x３＜１”的充分而不必要条件．]（２）设函数f（x）＝cos x＋b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件C[∵f（x）＝cos x＋b sin x为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f（—x）＝f（x），即cos（—x）＋b sin（—x）＝cos x＋b sin x，∴２b sin x＝0．由x的任意性，得b＝0．故f（x）为偶函数⇒b＝0．必要性成立．反过来，若b＝0，则f（x）＝cos x是偶函数．充分性成立．∴“b＝0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件．故选Ｃ．]充要条件的探求与证明２Ａ．0<x<４Ｂ．0<x<２Ｃ．x>0 Ｄ．x<４（２）求证：一元二次方程ax２＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0．思路探究：（１）先解不等式x２—４x<0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x２—４x<0的解集的子集．（２）充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的（⇔），也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．（１）B[由x２—４x<0得0<x<４，则充分不必要条件是集合{x|0<x<４}的子集，故选Ｂ．]（２）证明：充分性（由ac<0推证方程有一正根和一负根），∵ac<0，∴一元二次方程ax２＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b２—４ac>0，∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x１，x２，则x１x２＝错误!<0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax２＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性（由方程有一正根和一负根推证ac<0），∵一元二次方程ax２＋bx＋c＝0有一正根和一负根，不妨设为x１，x２，∴由根与系数的关系得x１x２＝错误!<0，即ac<0，此时Δ＝b２—４ac>0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax２＋bc＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0．１．探求充要条件一般有两种方法：（１）探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论（设为B），再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．（２）将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．２．充要条件的证明（１）证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．（２）证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．错误!２．（１）不等式x（x—２）<0成立的一个必要不充分条件是（）Ａ．x∈（0,２）Ｂ．x∈[—１，＋∞）Ｃ．x∈（0,１）Ｄ．x∈（１,３）B[由x（x—２）<0得0<x<２，因为（0,２）[—１，＋∞），所以“x∈[—１，＋∞）”是“不等式x（x—２）<0成立”的一个必要不充分条件．]（２）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）Ａ．α内有无数条直线与β平行Ｂ．α内有两条相交直线与β平行Ｃ．α，β平行于同一条直线Ｄ．α，β垂直于同一平面[答案] B充分条件、必要条件、充要条件的应用[１．记集合A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，若p是q的充分不必要条件，则集合A、B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？[提示] 若p是q的充分不必要条件，则A B，若p是q的必要不充分条件，则B A．２．记集合M＝{x|p（x）}，N＝{x|q（x）}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N 呢？[提示] 若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q 的充要条件．【例３】已知p：x２—8x—２0≤0，q：x２—２x＋１—m２≤0（m>0），且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．思路探究：→ 错误!{m|m≥9}（或[9，＋∞））[由x２—8x—２0≤0，得—２≤x≤１0，由x２—２x＋１—m２≤0（m>0），得１—m≤x≤１＋m（m>0）．因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q p．即{x|—２≤x≤１0}是{x|１—m≤x≤１＋m，m>0}的真子集，所以错误!或错误!解得m≥9．所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]１．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．[解] 由x２—8x—２0≤0得—２≤x≤１0，由x２—２x＋１—m２≤0（m>0）得１—m≤x≤１＋m （m>0），因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且pq．则{x|１—m≤x≤１＋m，m>0}{x|—２≤x≤１0}，所以错误!，解得0<m≤３．即m的取值范围是（0,３]．２．若本例题改为：已知P＝{x|a—４<x<a＋４}，Q＝{x|１<x<３}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P．所以错误!解得—１≤a≤５，即a的取值范围是[—１,５]．利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围１化简p、q两命题；２根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；３利用集合间的关系建立不等式；４求解参数范围.１．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．２．充要条件的证明与探求（１）充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：１p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；２p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．（２）探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．１．“|x|＝|y|”是“x＝y”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件B[若x＝１，y＝—１，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|，故选Ｂ．]２．“x＝５”是“x２—４x—５＝0”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件A[由x２—４x—５＝0得x＝５或x＝—１，则当x＝５时，x２—４x—５＝0成立，但x２—４x—５＝0时，x＝５不一定成立，故选Ａ．]３．下列条件中，是x２<４的必要不充分条件是（）Ａ．—２≤x≤２Ｂ．—２<x<0Ｃ．0<x≤２Ｄ．１<x<３A[由x２<４得—２<x<２，必要不充分条件的x的范围真包含{x|—２<x<２}，故选Ａ．]４．若“x＜m”是“（x—１）（x—２）＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________．（—∞，１] [由（x—１）（x—２）＞0可得x＞２或x＜１，由已知条件，知{x|x＜m}{x|x＞２或x＜１}，∴m≤１．]。