专题跟踪训练(二十二)一、选择题1．(2018·中原名校联盟联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β[解析]对于选项A，α⊥β且m⊂α，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故A不成立；对于选项B，α⊥β且m∥α，可得m⊂β或m∥β或m与β相交，故B不成立；对于选项C，m∥n且n⊥β，则m⊥β，故C正确；对于选项D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故D不成立，故选C.[答案] C2．已知直线m，l与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α，m ⊥γ，则下列命题一定正确的是()A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ[解析]∵m⊂α，m⊥γ，∴α⊥γ.又∵β∩γ＝l，∴l⊂γ，∴l⊥m，故选A.[答案] A3．(2018·内蒙古赤峰模拟)已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题中正确命题的个数为()①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则α⊥β；③若l⊥n，m⊥n，则l∥m；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.A．1 B．2 C．3 D．4[解析]①若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，不正确；②若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，正确；③若l⊥n，m⊥n，则l与m平行、相交或为异面直线，不正确；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，由面面垂直的性质定理得n⊥α，因此正确．综上可知只有②④正确，故选B.[答案] B4．(2018·福州泉州二模)在下列四个正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是()[解析]如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG 垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意，故选D.[答案] D5．(2018·江西赣州模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在()A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC内部[解析]连接AC1，如图：∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上，故选B.[答案] B6．[原创题]如图所示，三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，D 是棱PB的中点，已知P A＝BC＝2，AB＝4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为()A．－3010 B.305C．－305 D.3010[解析]如图所示，取BC的中点E，连接DE，AE.则在△PBC中，PD＝DB，BE＝EC，所以DE∥PC，且DE＝12PC.故∠EDA为异面直线PC，AD所成的角或其补角．因为P A⊥平面ABC，所以P A⊥AC，P A⊥AB.在Rt△ABC中，AC＝BC2＋BA2＝22＋42＝25；在Rt△P AC中，PC＝P A2＋AC2＝22＋(25)2＝2 6.故DE＝12PC＝ 6.在Rt△P AB中，PB＝AB2＋P A2＝42＋22＝25；又PD＝DB，所以AD＝12PB ＝ 5.在Rt△EAB中，AE＝AB2＋BE2＝42＋12＝17.在△DAE中，cos∠ADE＝AD2＋DE2－AE22AD×DE＝(5)2＋(6)2－(17)225×6＝－3010.设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cosθ＝|cos∠ADE|＝3010，故选D.[答案] D二、填空题7．(2018·定州二模)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.[解析]根据题意，因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F 是CD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝ 2.[答案] 28．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．[解析]过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线只可能落在平面DEFG中(其中D、E、F、G分别为AC，BC，B1C1，A1C1的中点)．易知经过D、E、F、G 中任意两点的直线共有6条．[答案] 69．(2018·运城一模)在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，M 为AB 的中点，将△BCM 沿CM 折起，使点A ，B 间的距离为2，则点M 到平面ABC 的距离为________．[解析]在平面图形中，由已知得AB ＝2，AM ＝BM ＝MC ＝1，BC ＝3，∴△AMC 为等边三角形，取CM 的中点D ，连接AD ，则AD ⊥CM ，设AD 的延长线交BC 于E ，则AD ＝32，DE ＝36，CE ＝33.根据题意知，折起后的图形如图所示，由BC 2＝AC 2＋AB 2，知∠BAC ＝90°，又cos ∠ECA ＝33，连接AE ，则AE 2＝CA 2＋CE 2－2CA ·CE cos ∠ECA ＝23，于是AC 2＝AE 2＋CE 2，∴∠AEC ＝90°，∴AE ⊥BC .∵AD 2＝AE 2＋ED 2，∴AE ⊥DE ，又BC ，DE ⊂平面BCM ，BC ∩DE ＝E ，∴AE ⊥平面BCM ，即AE 是三棱锥A －BCM 的高，设点M 到平面ABC 的距离为h ，∵S △BCM ＝34，AE ＝63，所以由V A －BCM ＝V M －ABC ，可得13×34×63＝13×12×2×1×h ，∴h ＝12.[答案] 12三、解答题10．(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .(1)求证：AF ∥平面PEC ；(2)求证：平面PEC ⊥平面PCD .[证明] (1)取PC 的中点G ，连接FG 、EG ，∵F为PD的中点，G为PC的中点，∴FG为△CDP的中位线，∴FG∥CD，FG＝12CD.∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE＝12CD.∴FG＝AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG，又EG⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，∴AF∥平面PEC.(2)∵P A＝AD，F为PD中点，∴AF⊥PD，∵P A⊥平面ABCD，CD ⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，又∵CD⊥AD，AD∩P A＝A，∴CD⊥平面P AD，∵AF⊂平面P AD，∴CD⊥AF，又PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，由(1)知EG∥AF，∴EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.11. (2018·河南洛阳一模)如图，在四棱锥E－ABCD中，△EAD 为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满足AB∥CD，AD＝DC＝12AB，且AE⊥BD.(1)证明：平面EBD⊥平面EAD；(2)若△EAD的面积为3，求点C到平面EBD的距离．[解](1)证明：如图，取AB的中点M，连接DM，则由题意可知四边形BCDM 为平行四边形，∴DM ＝CB ＝AD ＝12AB ，即点D 在以线段AB 为直径的圆上，∴BD ⊥AD ，又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，∴BD ⊥平面EAD .∵BD ⊂平面EBD ，∴平面EBD ⊥平面EAD .(2)∵BD ⊥平面EAD ，且BD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面EAD .∵等边△EAD 的面积为3，∴AD ＝AE ＝ED ＝2，取AD 的中点O ，连接EO ，则EO ⊥AD ，EO ＝3，∵平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴EO ⊥平面ABCD .由(1)知△ABD ，△EBD 都是直角三角形，∴BD ＝AB 2－AD 2＝23，S △EBD ＝12ED ·BD ＝23，设点C 到平面EBD 的距离为h ，由V C －EBD ＝V E －BCD ，得13S △EBD ·h ＝13S △BCD ·EO ，又S △BCD ＝12BC ·CD sin120°＝3，∴h ＝32.∴点C 到平面EBD 的距离为32.12．(2018·山西太原一模)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，AF ∥DE ，AF ⊥AD ，且平面BED ⊥平面ABCD .(1)求证：AF ⊥CD ；(2)若∠BAD ＝60°，AF ＝AD ＝12ED ＝2，求多面体ABCDEF 的体积．[解] (1)证明：连接AC ，交BD 于点O .由四边形ABCD 为菱形可知AC ⊥BD .∵平面BED ⊥平面ABCD ，且交线为BD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面BED ，∴AC ⊥ED .又∵AF ∥DE ，∴AF ⊥AC .∵AF ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，∴AF ⊥平面ABCD .∵CD ⊂平面ABCD ，∴AF ⊥CD .(2)V ABCDEF ＝V E －BCD ＋V B －ADEF .由(1)知，AF ⊥平面ABCD ，又AF ∥DE ，∴DE ⊥平面ABCD ，则V E －BCD ＝13ED ·S △BCD ＝13×4×12×2×2×sin60°＝433.取AD 的中点H ，连接BH ，则BH ⊥AD ，BH ＝ 3.由(1)可知BH ⊥AF ，又∵AD ∩AF ＝A ，∴BH ⊥平面ADEF ，则V B －ADEF ＝13BH ·S ADEF ＝13×3×12×(2＋4)×2＝2 3.∴V ABCDEF ＝433＋23＝1033，即多面体ABCDEF 的体积为103 3.。