图4
则 △AMN △AB C.
易知 BD = 9 ×8 = 9 , BM·BA =BD2
9 +7
2
] BM·9 =
9 2
2
]
BM
=
9
4
]
AM
=9 -
9 4
=
3 4
×9.
3 ×9 又MN =AM = 4 = 3 ,因此 ,
B C AB 9 4
MN
=
3 4
×8 = 6.
第二试
一 、由 a + c > b] a + b + c > 2b
] 2 l = a + b + c > 2b] 2b < 2 l.
又 l2 = 2ab] l2 < 2a l] l < 2a. 二 、结论 : S△AB C = S△BCA ′+ S△CAB ′- S△AB C′. 如 图 5, 在 AC 上 取 CD = CB , 联 结 DB、DC′、DB ′. 易知
x
= 3,
7,
11, 15, 19时 , y是整数.
因此 ,在线段 AB 上 (包括 A、B ) , 横 、纵
坐标都是整数的点有 5个.
6. B. 设内切圆 O 与 AC、B C 的切点分别为
D、E. 则
CD
= CE
=a
+b 2
-
c
=
r.
37
又 OD CD , O E CE
] CD CE] C = 90°. 二 、1. 2cosα或 2 sinα. 易知 1 + 2 sinα·cosα
注意 到 C′D = AC = AB ′, 因此 , 四 边 形
AB ′DC ′为平行四边形.
故 S△C′DA = S△B ′AD . 又易证 △ACB △B ′CD
△C′DB ,则
S△ACB = S△B ′CD , S△C′DB = S△B ′CD . 由 + S△AB C S△AB C′
(A ) 0 (B ) 1 (C) 2 (D ) 3
2. 已知关于 x的方程
5 x - a = 8 x + 142,
2
5
当 a为某些正整数时 ,方程的解为正整数. 则
正整数 a的最小值是 ( ). (A ) 2 (B ) 3 (C) 4
(D ) 5
3. 设 a、b N+ ,且满足
56≤a + b≤59, 019 < a < 0191.
(张同君 提供 )
36
(A ) A P >AQ (C) A P =AQ
(B ) A P <AQ (D )不能确定
5. 某一次函数图像与直线
y=
5 4
x
+
95 4
平行 ,与 x轴 、y轴的交点分别为 A、B ,并且过
点 ( - 1, - 25) . 则在线段 AB 上 (包括 A、B ) ,
横 、纵坐标都是整数的点有 ( )个.
同样 ,由 ( x - 1) 2 = ( x + 1) ( x + 3) - 6x - 2, 知结论 ④正确.
2. A.
由原方程解得 a = 190x - 142. 因为 a为正整数 ,所以 ,
190x > 142]
x > 157
7 9
.
又
x为正整数
,
要使
9 10
x
为整数
,
x 必须
是 10的倍数 ,而且为使 a最小 ,应取 x = 160.
(A ) 4 (B ) 5 (C) 6 (D ) 7 6. 在 △AB C 中 , 已知 B C = a, CA = b, AB
= c,内切圆半径为
r. 若
r=
1 2
(a +b -
c) , 则
△AB C是 ( ) .
(A )锐角三角形 (B )直角三角形
(C)等腰三角形 (D )等边三角形
二 、填空题 (每小题 7分 ,共 28分 )
故
8b≤ - 1]
b≤ -
1 8
.
3. 1. 设点 A ( a, a2 ) 、C ( c, c2 ) ( | c | < | a | ) . 则 B ( - a, a2 ) . 由勾股定理得
AC2 = ( c - a) 2 + ( c2 - a2 ) 2 , B C2 = ( c + a) 2 + ( c2 - a2 ) 2 ,
2009年第 10期
35
课外训练
数学奥林匹克初中训练题 (122)
第一试
一 、选择题 (每小题 7分 ,共 42分 )
1. 已知 x是无理数 ,且 ( x + 1) ( x + 3)是
Hale Waihona Puke 有理数. 在上述假定下 ,有下面四个结论 :
①x2 是有理数 ;
② ( x - 1) ( x - 3)是无理数 ; ③ ( x + 1) 2 是有理数 ; ④ ( x - 1) 2 是无理数. 其中 ,正确的个数是 ( ) .
轴. 则斜边上的高 h =
.
4. 如图 2,在 △AB C 中 , 已知 AB = 9, B C
= 8, CA = 7, AD 为内
角平分线 ,以 AD 为弦
作一圆与 B C相切 , 且
与 AB、AC 分 别 交 于
点 M 、N. 则 MN =
.
图2
第二试
一 、( 20 分 ) 已知 △AB C 三边长分别为 a、b、c,记 l = 1 ( a + b + c) . 若 l2 = 2ab, 试证 :
只有 S1 = 110, S2 = 99 可能满足条件. 此时 , a1 = a3 = … = a23 = 9.
( i)如果 a24 = 0,则该数为 S = 2 ×1024 + 1023 - 1, 除以 19余 5,不满足条件. ( ii)如果 a24 = 1,则该数为 S = 2 ×1024 + 2 ×1023 - 1 - 10x , 其中 , x为奇数. 由于 2 ×1024 + 2 ×1023 - 1 ≡8 (mod 19) , 而 10k模 19 的余数为 10, 5, 12, 6, 3, 11, 15, 17, 18, 9, 14, 7, 13, 16, 8, 4, 2, 1 循环 ,于是 , x = 18 t + 15. 故 x = 15. 此时 ,满足条件的数为 2 ×1024 + 2 ×1023 - 1015 - 1. 综上 ,满足条件的最小数为 2 ×1024 + 2 ×1023 - 1015 - 1.
图1
点 P、Q. 则 ( ) .
又 S1 + S2 = 209,由于 S1 、S2中的最大数 不大于 108,则最小数不小于 101,其差的绝 对值不大于 7. 而 S1 、S2一奇一偶 ,故 S1 - S2 ≠0,即 S1 S2 (mod 11) ,矛盾.
所以 ,满足条件的数至少为 25位. (2)如果该数为 25位数 ,类似上面的设 法 ,令该数为 S, S1 = a1 + a3 + … + a25 , S2 = a2 + a4 + … + a24. 1)如果 a25 = 1,由于 S1 、S2中的最大数不 大于 109,则最小数不小于 100,其差的绝对 值不大于 9. 而 S1 、S2一奇一偶 ,故 S1 - S2 ≠ 0,即 S1 S2 (mod 11 ). 此时 ,不存在满足条 件的数. 2)如果 a25 = 2,由于 S1 、S2中的最大数不 大于 110,则最小数不小于 99,其差的绝对值 不大于 11. 而 S1 、S2一奇一偶 ,故 S1 - S2 ≠0,
= sin2 α + 2 sinα·cosα + cos2α = ( sinα + co sα) 2. 同理 , 1 - 2 sinα·cosα = ( sinα - cosα) 2. 故原式
= ( sinα + cosα) 2 + ( sinα - cosα) 2 = | sinα + cosα| + | sinα - cosα|. 由于 0°<α≤90°, sinα > 0, cosα > 0,且 当 0°<α < 45°时 , sinα < cosα; 当 45°≤α≤90°时 , sinα≥cosα. 故 ( 1)当 0°<α < 45°时 , 原式 = ( sinα + cosα) + ( cosα - sinα) = 2cosα; ( 2)当 45°≤α≤90°时 , 原式 = ( sinα + cosα) + ( sinα - cosα) = 2 sinα.
b
则 b2 - a2 等于 ( ) .
(A ) 171 (B ) 177 (C) 180 (D ) 182 4. 如图 1,在 △ABC
中 , 已 知 AB > AC, 点
D、E 分 别 在 AB、AC
上 ,且 BD = CE. 取 B E、
CD 的中点 M 、N , 直线
MN 分 别交 AB、AC 于
1. 化简
1 + 2 sinα·cosα + 1 - 2 sinα·cosα
( 0°<α≤90°)的结果为
.
2. 若对任何实数 a,关于 x的方程
x2 - 2ax - a + 2b = 0
都有实数根 ,则实数 b的取值范围是
.
3. 已知 R t△AB C 的三个顶点 A、B、C 均