2.1.2 指数函数及其性质
学校： 教师：
教学目标：
知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用。
能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类
讨论的思想以及从特殊到一般的数学讨论的方法 ，增强识图用图的能力。
情感目标:通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐
的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。
教学重点：指数函数的图象、性质及其简单运用。
教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图象与底数的关系。
教学方法：探究式教学法。
教学手段：采用多媒体辅助教学。
教学过程：
一、创设情景，引出课题
我们学习过函数的概念、函数的有关性质及指数的运算，今天我们来研究一类新的函数。
问题1：在≤庄子·杂篇·天下≥中，有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的语句。
意思是：一根一尺长的木棒，如果每天截取它的一半，永远也取不完。
动画演示:设木棒原长为1个单位,截取1次剩余长度为1
2
,截取2次剩余长度为
2
12⎛⎫
⎪⎝⎭
,截取3次剩余长度为312⎛⎫ ⎪⎝⎭，截取4次剩余长度为412⎛⎫ ⎪⎝⎭
，一根这样的木棒截取
次后剩余的长度为 ,请同学们写出 与 之间的函数关系式。
学生回答: 与之间的函数关系式,可以表示为
*1,.
2x
y x ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
N
问题2：我们再来考虑一个与医学有关的例子：大家对“非典”应该并不陌生，它与其它的传染病一样，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖方式有很多种，分裂就是其中的一种。
下面我们共同来了解一种球菌的分裂过程：
动画演示：某种球菌在分裂时，分裂一次由1个变成成2个，分裂两次由2个变成4个，分裂三次由4个变成成8个，分裂四次由8个变成成16个，------.一个这样的球菌分裂x 次后,得到的球菌的个数y 与x 之间,也构成一个函数关系,同学们能写出与之间的函数关系式吗?
学生回答: 与间的之间的函数关系式,可以表示为
*
∈=N
x y x ,2
分析：上面得到的两个解析式的形式有什么共同特征呢？
(1).等号左右两端：左端是因变量 y ,右端是幂的形式,且幂的整体系数为 1。
(2).自变量位置:
指数部分仅有自变量 x 。
(3).底数情况：底数是正实数。
这类函数重点介绍的原因，它是实际生活中的一种需要。
大家能给这样的函数起个名字吗？（想让学生对数学的形式化有一认识）
（指数函数）
这就是今天我们所要学习的一个新函数——指数函数。
（引出课题）
二、新课讲解
(一)指数函数的概念：
函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 思考：为什么要规定a>0,且 a ≠1呢？
①若a=1, 则对于任何x ∈R,x a =1是一个常量，没有研究的必要性。
②若a=0，则当x ＞0时, x a 同 ①一样.
当x =-2时，2-a 无意义。
③若a ＜0,如 2
1a ， 4
1a 无意义。
很好，所以有规定10≠>a a 且（对指数函数有一初步的认识）。
（二）指数函数的图象与性质：
学习函数的一个很重要的目标就是应用，那么首先要研究函数的图象及性质，然后利用其图象和性质去解决数学问题和实际问题。
研究初等函数图像及性质的基本步骤： 1.画出函数图象;﹙列表 描点 连线﹚ 2.研究函数性质.
①定义域; ②值域; ③单调性; ④奇偶性.。
探究1：同学们动手用描点法画出指数函数x y 2=和x y )21
(=的图象，并观察
有什么特征？
函数x y 2=的图象位于x 轴的上方，向左无限接近x 轴，向上无限延伸, 从左向右看，图象是上升的,与y 轴交于(0,1)点。
函数x y )21
(=的图象位于x 轴的上方，向右无限接近x 轴，向上无限延伸，从
左向右看，图象是下降的，与y 轴交于(0,1)点。
探究2：在同一直角坐标系内作出若干个底数不同的指数函数
)1,0(≠>=a a a y x 且的图象，你能发现它们有哪些共同特征？（所有图象都位于x 轴上方，向左右无限延伸； 所有图象都过点(0，1) ；当0＜a ＜1时，函数图象都是下降趋势，当a ＞1时，函数图象都是上升趋势。
)
（演示课件：以不同的底，作出函数的图象，描绘出其几何特征，将函数的图象和性质对应起来．利用几何画板，通过改变a 的值，让学生观察图象的变化规律。
）
学生分组讨论
思考：通过画图象以及演示，同学们能发现怎样的规律呢？ （底数分1>a 和10<<a 两种情况）
很好，那么，大家能否归纳总结一下它们的性质吗？
（引导学生观察函数x y 2=的图象特征，并总结函数x y 2=的性质）
从特殊到一般，指数函数)1(>=a a y x
有哪些性质？并类比得出
)10(<<=a a y x
的性质。
师生共同归纳：
指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象与性质：
强调：利用函数图象研究函数性质是一种直观而形象的方法，记住性质的关键在于要脑中有图。
1a >
01a <<
图
象
性
质 （1）定义域：(,)-∞+∞ （2）值域： (0,)+∞
（3）过定点(0,1)，即当0=x 时，1=y
（4）在(,)-∞+∞上是增函数 （4）在(,)-∞+∞上是减函数
三、应用举例：
数学源于生活，还要服务于生活，学习函数很重要的一个目标就是应用，指数函数是生产生活中常见的一种函数，指数函数一直以来都是科学工作者，特别是工程技术人员必备的工具。
下面我们来了解一下它的简单应用。
例：比较下列各组数中各个值的大小：
（1）5.27.1 ，37.1 ； （2）1.08.0-，2.08.0-； （3）3.07.1，1.39.0。
分析：1. 当底数相同且明确底数a 与1的大小关系时，提示学生观察两个数的形式特征（底数相同，指数不同），联想指数函数，提出构造函数法，即把这两个数看作某个函数的函数值，直接利用函数的单调性比较大小。
2．当底数不同不能直接比较时，对于这样两个数比大小，学生可能会觉
得困难可借助中间数，间接比较两个数的大小。
四、随堂练习 巩固提高
1(1)1(2).
2x
y y =⎛⎫= ⎪⎝⎭
五、归纳小结:
1．指数函数的概念， 2．指数函数图像的作法， 3．指数函数的图象和性质。
六、布置作业：
教材59页A 组：第7题（2）、 （3）， 第8题（1） 、（4）。
{}
|2x x ≥{}
|0x x ≠。