量被称为资本的黄金律。
f(k)
y2* y1*
f(k) (n+g+δ)k
s2f(k)
s1f(k)
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k1* k2*
k
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黄金律和动态无效率
过度储蓄的经济被
称为动态无效率，
(n+g+δ)k
因为降低储蓄率不
f(k)
仅提高了稳态消费， 也提高了转移过程
c1*
s1f(k)
中的消费，即原来 的人均消费路径在
资本K/L和人均消费C/L具有相同的增长率：g。
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3、稳态时的增长：平衡增长
当k=k*时，模型中的各个变量将如何变动？
变量
K
绝
L
对
A
量 AL
Y
含义 资本存量
劳动力 知识或技术 有效劳动
总产出
平衡增长速度 n+g n g n+g
n+g
C
总消费
n+g
k(Y/AL) 有效劳动的本平均资
K
(k*)

Y K

K Y
k * f (k*) kk* f (k*)
产出的资本弹性等于资本收入在总收入中所占的份额。
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四、储蓄率变化的影响
在多数国家，支付给资本的收入份额约为1/3。则产出的 储蓄率弹性约为0.5。当储蓄率增加10%时，人均产出长 期内仅变化5%。 因此，储蓄的显著变化只会对平衡路径上的产出产生中度 的影响。
c*＝f(k*)-sf(k*) =f(k*)(n+g+δ）k*
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2、稳态
稳态均衡图示
因为
d[sf (k) / k] s d[ f (k) / k]
dk
dk
s
f (k) kf '(k) k2
s
F 'AL k2
0
sf (k) / k

k(t)
(n g )
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边际产出
资本的边际产出
MPK

F(K, AL) K

ALf (K / K
AL)

f
(k )
有效劳动的边际产出
MPAL

F(K, AL) AL

f
(k) kf
(k)
劳动的边际产出
MPL

F(K, AL) L

A[
f
(k)

kf
(k )]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
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3
以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡 结构：
家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自 主决策。
企业雇佣投入品进行生产。 家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。
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4
二、索罗模型的假设
1、投入与产出
索罗模型关注四个变量：产出Y、资本K、劳动L，以及知 识或劳动的有效性A。 生产函数：
k*
k
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k*
k
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3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变： y* f (k*)
根据单位有效 y* Y / AL Y y * AL 结论：索罗模
工人产出的定 义可以计算出
ln Y ln y*ln A ln L
型意味着，无 论起点在何处，
可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
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2、关于生产函数的假设
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) 第三，稻田条件：
lim
K 0
FK

lim
L0
FL

lim
K
FK

lim
L
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假设的含义
稻田条件意味着，在资本存量充分小时资本的边际 产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。
其作用在于确保经济的路径不发散。即
lim f (k)
k 0
根据假设1得到：
lim f (k) 0
k
f (0) 0 f (k ) 0 f (k ) 0
绝对收敛：穷国有着更快的人均增长率，因 此穷国趋于追上富国。
条件收敛：一个经济离其自身的稳态值越远， 增长越快。
巴罗认为索洛模型预测了条件收敛。
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五、绝对收敛与条件收敛
非稳态图示
(n g )k(t)
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增长率>0
f (k(t))
增长率<0
cg*
sgf(k)
所有时点都位于另
一条可行的路径之 下。
0 kg*
k1*
k
动态无效率区域
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黄金律和动态无效率
c* cgold
sgold
s
纵轴表示对应于每一储蓄率的人均消费的稳态水平。使人均 稳态消费最大时的储蓄率被称为黄金律储蓄率，以sgold表示。
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四、储蓄率变化的影响
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图形表示
f(k) f(k)
c sf(k)
f(k) sf(k)
0
k
新古典生产函数
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的 资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s，c表示消费）
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3、生产投入的演化
资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
瞬时增长率的定义：
k
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t
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四、储蓄率变化的影响
2．储蓄率变化的动态影响
(2) 对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长
速度。
Y/L增长率
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t
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四、储蓄率变化的影响
(2) 对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长 速度。
ln(Y/L)
t
结论： (1) 储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响。
0
相 K/L
人均资本
g
对 y(Y/AL) 有效劳动的出人均产
0
量 Y/L
人均产出
g
c(Y/AL) 有效劳动的费人均消
0
C/L
人均消费
g
K/Y
资本产出比
0
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备注证明 k=K/AL
F(cK,cAL)=Lc)F(K,A C=(1-s)Y
y=f(k)=Y/AL c=(1-s)f(k)
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四、储蓄率变化的影响
或者说，储蓄率的变化只有水平效应，而没有增长效应。 (2) 只有技术进步率的变化有增长效应。 (3) 政策含义：投入驱动的增长不会持续。
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四、储蓄率变化的影响
(3) 对消费的影响
在稳态，c*= f(k*)-(n+g+δ）
k* 当MPK= n+g+δ时，消费达
到最大。 使消费达到最大化的资本存
K (t) sY (t) K (t)
折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。
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三、模型的动态学
1、k的动态学
在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 点分析资本的变化。
单位有效劳动资本存量的变化：
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
总产出的增长 速度：
Y L A n g
Y LA
资本增长率 k* K / AL K k * AL
K K
n g
经济总会收敛
于一个平衡增 长路径：模型
消费C=（1-s）Y，因此，消费和产出具有相同
中的每个变量
的增长率，等于n+g。
都以一个不变
同样方法可以计算出每个工人的产出Y/L、人均 的速率增长。
k(t) 0 k增加
每单位有效劳动 的实际投资
有效折旧：为保持 k在现有水平所必 须进行的投资。
k(t) 0 k下降 k(t) 0 k不变
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2、稳态
稳态： 如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的

状况，即 k(t) 0 平衡增长（balanced growth): 如果各主要的总量指标彼此间保持相同的比例，这样的经济增 长成为平衡增长。在我们讨论的大多数增长模型中，稳定状态 的路径也是平衡增长的路径。
s1f(k)
s' f (k) / k
(n g )
k1* k2*
k
k1* k2*
k
储蓄率上升意味着更多的资源用于投资，实际投资线向上移动。导致
实际投资大于有效折旧，因此，k持续上升到新的稳态值（不是立即
跳跃到）。
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四、储蓄率变化的影响
2．储蓄率变化的动态影响
(1) 对k的影响：先增加，并逐步收敛于新的更高水平。
下面考察政策控制变量s的变动的影响: 对稳态均衡的影响； 两个稳态均衡之间的动态路径； 对长期增长的影响程度； 对长期增长的影响持续时间。
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