证明圆的切线方法及例题
证明圆的切线常用的方法有：
一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.
求证：EF 与⊙O 相切.
证明：连结OE ，AD.
∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC.
又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4.
∴BD=DE ，∠1=∠2.
又∵OB=OE ，OF=OF ，
∴△BOF ≌△EOF （SAS ）.∴∠OBF=∠OEF.
∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切.
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA 与⊙O 相切.
证明一：作直径AE ，连结EC.
∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB=∠DAC.
∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB ，∴∠1=∠B.
又∵∠B=∠E ，∴∠1=∠E
∵AE 是⊙O 的直径，
∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切.
证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE.
∵AD 是∠BAC 的平分线，∴BE=CE ，
∴OE ⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.
∵OA=OE ，∴∠E=∠1.
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∵PA=PD ，∴∠PAD=∠PDA.
又∵∠PDA=∠BDE,
∴∠1+∠PAD=900
即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切
说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M
求证：DM 与⊙O 相切.
证明一：连结OD.
∵AB=AC ， ∴∠B=∠C.
∵OB=OD ∴∠1=∠B.
∴∠1=∠C.∴OD ∥AC. ∵DM ⊥AC ，∴DM ⊥OD.
∴DM 与⊙O 相切
证明二：连结OD ，AD.
∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC.
又∵AB=AC,∴∠1=∠2.
∵DM ⊥AC ，∴∠2+∠4=900
∵OA=OD ，∴∠1=∠3.
∴∠3+∠4=900.即OD ⊥DM. ∴DM 是⊙O 的切线
说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.
例 4 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.
求证：DC 是⊙O 的切线
证明：连结OC 、BC.
∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300.
∴∠BOC=∠A+∠1=600.
又∵OC=OB ，
∴△OBC 是等边三角形.∴OB=BC. D C
D
∵OB=BD ， ∴OB=BC=BD. ∴OC ⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线.
说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.
例5 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP.
求证：PC 是⊙O 的切线.
证明：连结OC
∵OA 2=OD·OP ，OA=OC ，∴OC 2=OD·OP ， OC OP OD OC . 又∵∠1=∠1，∴△OCP ∽△ODC.∴∠OCP=∠ODC.
∵CD ⊥AB ，∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.
说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的
例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.
求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.
分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.
证明：取FG 中点O ，连结OC.
∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △
∵O 是FG 的中点， ∴O 是Rt △CFG 的外心.
∵OC=OG ，∴∠3=∠G ，∵AD ∥BC ， ∴∠G=∠4.
∵AD=CD ，DE=DE ，∠ADE=∠CDE=450，
∴△ADE ≌△CDE （SAS ）∴∠4=∠1，∠1=∠3.
∵∠2+∠3=900, ∴∠1+∠2=900. 即CE ⊥OC. ∴CE 与△CFG 的外接圆相切
二、若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”
例7 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点.
求证：AC 与⊙D 相切.
证明一：连结DE ，作DF ⊥AC ，F 是垂足.∵AB 是⊙D 的切线，∴DE ⊥AB.
∵DF ⊥AC ，∴∠DEB=∠DFC=900. ∵AB=AC ，∴∠B=∠C.又∵BD=CD ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ） ∴DF=DE.∴F 在⊙D 上. ∴AC 是⊙D 的切线
证明二：连结DE ，AD ，作DF ⊥AC ，F 是垂足.
∵AB 与⊙D 相切，∴DE ⊥AB.
∵AB=AC ，BD=CD ，∴∠1=∠2. ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF.∴F 在⊙D 上.∴AC 与⊙D 相切. 说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.
例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.
证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足.
∵AC ，BD 与⊙O 相切，∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.
∵AC ∥BD ， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.
∵∠COD=900，
∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.
∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5. ∴Rt △AOC ∽Rt △BDO. ∴OD OC OB AC =.∵OA=OB ，∴OD OC OA AC =. 又∵∠CAO=∠COD=900，∴△AOC ∽△ODC ， ∴∠1=∠2.
又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD,∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上. ∴CD 是⊙O 的
切线.
证明二：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD 于E ，延长DO 交CA 延长线于F.
∵AC ，BD 与⊙O 相切，∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.
∵AC ∥BD ，∴∠F=∠BDO.
又∵OA=OB ，
∴△AOF ≌△BOD （AAS ）∴OF=OD.
∵∠COD=900，∴CF=CD ，∠1=∠2.
又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ，∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线. 证明三：连结AO 并延长，作OE ⊥CD 于E ，取CD 中点F ，连结OF.
∵AC 与⊙O 相切，∴AC ⊥AO. O
∵AC ∥BD ，∴AO ⊥BD.
∵BD 与⊙O 相切于B ，
∴AO 的延长线必经过点B.
∴AB 是⊙O 的直径.
∵AC ∥BD ，OA=OB ，CF=DF ，∴OF ∥AC ，
∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF ， ∴CF CD OF ==2
1.
∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.
∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上. ∴CD 是⊙O 的切线 说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.。