第四章 功和能一 选择题1. 如图所示，A 、B 两颗卫星在同一圆形轨道上运行，其质量分别为m A = 100kg, m B = 200kg, A 的速度为v A = 7.0⨯103 m ⋅ s –1，则A 和B 的动能之比为：（ ）A. 2:1B. 2:1C. 1:2D. 1:2解：答案是D 。

简要提示：R m R GMm R m R GMm B B B A A A2222 v v ==， 所以v A = v B ，动能之比即为质量之比m A : m B =1:2。

2. 如图所示，足够长的木条A 置于光滑水平面上，另一木块B 在A 的粗糙平面上滑动，则A 、B 组成的系统的总动能：（ ）A. 不变B. 增加到一定值C. 减少到零D. 减小到一定值后不变解：答案是D 。

简要提示：B 在A 的粗糙平面上滑动，摩擦力最终使B 相对于A 静止下来，摩擦力是非保守内力，根据功能原理，它做的功使系统的总动能减少。

当B 相对于A 不动时，摩擦力就不再做功。

3. 一辆汽车从静止出发，在平直公路上加速前进时，若发动机功率恒定，则正确的结论为：（ ）A. 加速度不变B. 加速度随时间减小C. 加速度与速度成正比D. 速度与路径成正比解：答案是B 。

简要提示：在平直公路上，汽车所受阻力恒定，设为f 。

发动机功率恒定，则P =F v ，其中F 为牵引力。

由牛顿运动定律得vm f F =-，即：f P/m -v v = 。

所以，汽车从静止开始加速，速度增加，加速度减小。

4. 一条长为L 米的均质细链条，如图所示，一半平直放在光滑的桌面上，AB 选择题2图 地 A B 选择题1图另一半沿桌边自由下垂，开始时是静止的，当此链条末端滑到桌边时（桌高大于链条的长度），其速率应为： （ ）A ．gLB ．gL 2C ．gL 3D ．gL 321 解：答案是D 。

简要提示：运动过程中机械能守恒，则以桌面为零势能点，初始时机械能为MgL 81-，其中M 为链条的质量；链条末端滑到桌边时机械能为MgL M 21212-v 。

两者相等，得：gL 321=v 5. 人造卫星绕地球作圆周运动，由于受到稀薄空气的摩擦阻力，人造卫星的速度和轨道半径的变化趋势应为：（ ）A. 速度减小，半径增大B. 速度减小，半径减小C. 速度增大，半径增大D. 速度增大，半径减小解：答案是D 。

简要提示：由于阻力做负功，根据功能原理可知系统的机械能将减少。

功能原理可写成r rGMm m r GMm m E E E d d )21(d )(d d d 22p k +=-=+==⋅v v v r f 圆周运动动力学方程为 22rGMm r m =v ，即r G M m m =2v 。

对此式两边求微分得到 r rGMm m d d 22-=v v 利用上式，可将功能原理表示成r r GMm r r GMm r r GMmd 2d d 2d 222=+-=⋅r f还可将功能原理表示成v v v v v v d d 2d d m m m -=-=⋅r f因为 0d <⋅r f ，所以d r < 0，d v > 0 。

即人造卫星的速度和轨道半径的变化趋势应为速度增大、半径减小。

6. 一颗卫星沿椭圆轨道绕地球旋转，若卫星在远地点A 和近地点B 的角动量与动能分别为L A 、E k A和L B 、E k B ，则有：（ ）选择题4图 地球B A选择题6图A. L B > L A ， E k B > E k AB. L B > L A ， E k B = E k AC. L B = L A ， E k B > E k AD. L B = L A ， E k B = E k A解：答案是C 。

简要提示：由角动量守恒，得v B > v A二 填空题1. 一摆长为L ，摆球质量为m 的单摆，在重力作用下摆动，摆动过程中，假设可忽略空气阻力，起初最大摆角为θ 0，当单摆摆经竖直位置的瞬时，摆长缩短为l ，则缩短后的单摆的最大摆角θ 等于__________。

解：答案是 )]cos 1(1arccos[033θθ--=l L 简要提示：当摆球从最大摆角处摆到竖直位置的过程中，机械能守恒，设摆球刚到达竖直位置的速率为v ，则有)cos 1(2102θ-=mgL m v 在竖直位置摆长由L 缩短为l 的瞬时，摆球所受到的重力和摆线的拉力均沿竖直方向，因此摆球在此瞬间对悬挂点的角动量守恒，设摆长缩短为l 时的速率为v '，则有v v '=ml mL当摆球以l 为摆长摆动的过程中，机械能也是守恒的，即)cos 1(212θ-='mgl m v 利用前二式，可将第三式写成)cos 1(cos 1033θθ-=-l L解出最大摆角)]cos 1(1arccos[033θθ--=l L 2. 质量分别为m 和M 的两个粒子开始处于静止状态，且彼此相距无限远，在以后任一时刻，当它们相距为d 时，则该时刻彼此接近的相对速率为 。

解：答案是 dm M G )(2+ 简要提示：设质量为m 和M 的两个粒子当它们相距为d 时的速率分别为v 1和v 2，显然速度的方向相反。

在它们运动过程中只受到相互间的万有引力作用，因此系统的机械能和动量均守恒。

根据题意，相距无限远时系统的总能量为零。

因此有021212221=-+dGMm M m v v 21v v M m =从以上两式解出 )(221m M d GM +=v 因此两个粒子彼此接近的相对速率为dm M G m M d GM M m M M m M M m )(2)(2211121+=++=+=+=+v v v v v 3. 如图所示，一质量为m 1的托盘挂在一劲度系数为k 的轻弹簧下端，一质量为m 2的粘土块从离盘底高h 处自由落下，假定落在盘底不回跳，则托盘离开其平衡位置的最大距离为 。

解：答案是])(211[22g m m kh k g m +++ 简要提示：托盘在平衡位置时轻弹簧伸长：k g m x 11= 粘土块落到盘底时的速率为：gh 20=v设托盘和粘土块在平衡位置的速率为v ，v v )(2102m m m +=设托盘离开平衡位置的最大距离为x 2，则由机械能守恒定律22121221221)(2121)()(21x x k kx gx m m m m +=++++v 由以上各式联立求解，得到最大距离])(211[222gm m kh k g m x +++= 填空题3图4. 如图所示，一质量为m 的物体位于质量可以忽略的直立弹簧上方高度为h 处，该物体从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k ，若不考虑空气阻力，则物体可能获得的最大动能为 。

解：答案是kg m mgh E 222kmax += 简要提示：以弹簧的平衡位置为原点，选该点为重力势能能点，则物体初始的机械能为mgh 。

物体与弹簧接触后，弹簧被压缩，物体的机械能守恒：mgh E ky mgy =++-k 221 由0d d k =y E ，得： kmg y =；k g m mgh E 222kmax += 5. 一质量为2kg 的物体与另一原来静止的物体发生弹性碰撞后仍沿原方向继续运动，但速率仅为原来的四分之一，则被碰撞物体的质量为 。

解：答案是 1.2 kg 简要提示：由弹性碰撞的速度公式：21202102112)(m m m m m ++-=v v v 得： kg 2.15312==m m 6. 逃逸速率大于真空中光速的天体称为黑洞，设黑洞的质量等于太阳的质量，为2.0×1030kg ，引力常数为G = 6.67×10–11N ⋅ m 2 ⋅ kg –1，真空光速c = 3.0×108 m ⋅ s –1，则按经典理论该黑洞可能的最大半径为 m 。

解：答案是2.96×103m简要提示：由第二宇宙速度公式，物体要脱离太阳引力所需的速度为： RGM 22=v ，其中M 为太阳的质量。

令v 2 等于光速c ，得到： m 1096.2/232⨯==c GM R7. 横截面积为S 的理想流体以水平流速v 射向竖直挡板，设流体在挡板上并不反跳，则流体对挡板的正压力为 。

解：答案是 ρ v 2S简要提示：由流体的反作用力公式(4.6.4)，流体对竖直挡板的正压力为：填空题4图o yS S Q F 2)0()0(v v v v ρρ=-=-=三 计算题1. 质量为2kg 的物体由静止出发沿直线运动，作用在物体上的力F 随时间t 变化的规律是F = 4 t N ，方向始终不变。

试求在最初2 s 内，力F 所作的功。

解：利用牛顿第二定律F = ma ，积分1200000s m 4d 240d d -⋅=+=+=+=⎰⎰⎰t t t m F t a tt v v v t 根据动能定理，力F 所作的功(J) 16422121212122202=⨯⨯==-=t t m m m W v v v 2. 用铁锤把钉子敲入木板，设钉子受到的阻力与钉子打入的深度成正比。

第一次打击，能把钉子打入木板1cm ，如第二次打击时，保持第一次打击钉子时的速度，求第二次钉子打入的深度。

解：阻力与深度成正比，有F = kx ，两次敲击钉子的条件相同，钉子获得的动能也相同，所以阻力对钉子作的功相同： ⎰⎰∆=xx kx x kx 01.001.00d d得： 0.41cm m 0041.0==∆x3. 质量为2×10-3kg 的子弹以500 m ⋅ s –1的速率水平飞出，射入质量为1kg 的静止在水平面上的木块，子弹从木块穿出后的速率为100 m ⋅ s –1，而木块向前滑行了0.2m 。

求：（1）木块与平面间的摩擦因数；（2）子弹动能和动量的减少量；（3）子弹穿出瞬间木块的动能。

解：（1）设子弹和木块的质量分别为m 和M ，根据系统动量守恒 m v 0=MV +m v ，得木块在子弹穿出后的速率为)s (m 8.01)100500(102)(130--⋅=-⨯⨯=-=M m V v v 由功能原理 2k 210MV E Mgx fx M -=∆=-=-μ得 163.02.08.9264.022=⨯⨯==gx V μ （2）子弹动能减少(J) 240)100500(10221)(21223220k =-⨯⨯⨯=-=∆-v v m E m 子弹动量减少： )s m (k g 8.0)100500(102)(130--⋅⋅=-⨯⨯=-=∆v v m p（3）子弹穿出瞬间木块的动能 (J) 32.08.01212122k =⨯⨯==MV E 4. 某封闭力学系统除受到一摩擦力外，受到的其它力均为保守力，求证：该系统在任一时刻机械能的损耗率等于该时刻摩擦力f r 与速率v 的乘积，即 v r f t E E -=+d /)(d p k解：设系统的初始机械能为E 0，在任一时刻机械能为(E k + E p )，摩擦力f r 做的功为f r s ，因为封闭的力学系统能量守恒，即const E s f E E r ==++0p k对上式求导0)(d d p k =++s f E E tr 即 ts f s t f s f t E E t r r r d d d d )(d d )(d d p k --=-=+ 因f r 与时间无关，即0d d =tf r ，这样就得到 v r r f ts f E E t -=-=+d d )(d d p k 5. 如图所示，一质量为m 的钢球，系在一长为R 的绳一端，绳另一端固定，现将球由水平位置静止下摆，当球到达最低点时与质量为M ，静止于水平面上的钢块发生弹性碰撞，求碰撞后m 和M 的速率。