教学内容【知识结构】知识点一：极坐标1．极坐标系平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。

2．极坐标系内一点的极坐标平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对就叫做点的极坐标。

3. 极坐标与直角坐标的互化当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：直角坐标化极坐标：；极坐标化直角坐标：.此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.知识点三：参数方程1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。

知识点四：常见曲线的参数方程1．直线的参数方程（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）；其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。

（当在上方时，，在下方时，)。

（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：（为参数，为为常数，）；其中的几何意义为：若是直线上一点，则。

2．圆的参数方程（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：（是参数，）；特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。

（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。

（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。

3. 椭圆的参数方程（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。

（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。

如图中，点对应的角为（过作轴，交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。

（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。

椭圆上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。

4. 双曲线的参数方程双曲线（,）的参数方程为（为参数）。

5. 抛物线的参数方程抛物线()的参数方程为（是参数）。

参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。

【例题精讲】类型一：极坐标方程与直角坐标方程例1．在极坐标系中，点关于极点的对称点的坐标是_____ ，关于极轴的对称点的坐标是_____，关于直线的对称点的坐标是_______，思路点拨:画出极坐标系，结合图形容易确定。

解析：它们依次是或；；（）.示意图如下：总结升华：应用数形结合，抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系，同时应注意点的极坐标的多值性。

举一反三：【变式】已知点，则点（1）关于对称点的坐标是_______，（2）关于直线的对称点的坐标为________。

【答案】(1) 由图知：,，所以；(2) 直线即，所以或（）例2. 化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。

(1) ；(2) ；(3) ；(4) .思路点拨:依据关系式，对已有方程进行变形、配凑。

解析：（1）方程变形为,∴或，即或，故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。

(2) 变形得,即，故原方程表示直线。

(3) 变形为, 即，整理得，故原方程表示中心在，焦点在x轴上的双曲线。

（4）变形为,∴,即,故原方程表示顶点在原点，开口向上的抛物线。

总结升华：极坐标方程化为直角坐标方程，关键是依据关系式，把极坐标方程中的用ｘ、ｙ表示。

举一反三：【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线.(1)；(2), 其中；(3)(4)【答案】：(1)∵，∴即,故原方程表示是圆.(2)∵, ∴，∴，∴或，∴或故原方程表示圆和直线.(3)由，得即，整理得故原方程表示抛物线.(4)由得,∴，即故原方程表示圆.【变式2】圆的直角坐标方程化为极坐标方程为_______________.【答案】将代入方程得.例3. 求适合下列条件的直线的极坐标方程：（1）过极点，倾斜角是；（2）过点，并且和极轴垂直。

思路点拨:数形结合，利用图形可知过极点倾斜角为的直线为.过点垂直于极轴的直线为；或者先写出直角坐标方程，然后再转化成极坐标方程。

解析：（1）由图知，所求的极坐标方程为；（2）（方法一）由图知，所求直线的方程为，即.（方法二）由图知，所求直线的方程为，即.总结升华：抓住图形的几何性质，寻找动点的极径与极角所满足的条件，从而可以得到极坐标方程.也可以先求出直角坐标方程运用所得的方程形式，可以更简捷地求解.举一反三：【变式1】已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是______。

【答案】：。

（方法一）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程：，则原点（极点）到该直线的距离是；（方法二）直线是将直线绕极点顺时针旋转而得到，易知，极点到直线的距离为。

【变式2】解下列各题（1）在极坐标系中，以为圆心，半径为1的圆的方程为____，平行于极轴的切线方程为____；（2）极坐标系中，两圆和的圆心距为______ ；（3）极坐标系中圆的圆心为________。

【答案】（1）（方法一）设在圆上，则，，，，由余弦定理得即，为圆的极坐标方程。

其平行于极轴的切线方程为和。

（方法二）圆心的直角坐标为，则符合条件的圆方程为，∴圆的极坐标方程：整理得，即.又圆的平行于（轴）极轴的切线方程为：或，即和（2）（方法一）的圆心为，的圆心为，∴两圆圆心距为.（方法二）圆即的圆心为，圆即的圆心为，∴两圆圆心距为.（3）（方法一）令得，∴圆心为。

（方法二）圆即的圆心为，即.类型二：参数方程与普通方程互化例4．把参数方程化为普通方程(1) (，为参数)；（2）(，为参数）；（3）(,为参数)；（4）(为参数).思路点拨:（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；（2）利用三角恒等式进行消参；（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成而已，因而消参方法依旧，但需要注意、的范围。

解析：（1）∵，把代入得；又∵,, ∴,,∴所求方程为：(,)（2）∵,把代入得.又∵，∴,. ∴所求方程为(,).（3）（法一）：,又，,∴所求方程为(,).（法二）：由得,代入,∴（余略）.（4）由得, ∴,由得,当时，；当时，，从而.法一:，即（），故所求方程为（）法二: 由得，代入得，即∴再将代入得，化简得.总结升华：1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。

2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.举一反三：【变式1】化参数方程为普通方程。

（1）(t为参数) ；（2）（t为参数）.【答案】：（1）由得，代入化简得.∵, ∴,.故所求方程为（，）（2）两个式子相除得，代入得，即.∵，故所求方程为().【变式2】（1）圆的半径为_________ ；（2）参数方程(表示的曲线为（）。

A、双曲线一支，且过点B、抛物线的一部分，且过点C、双曲线一支，且过点D、抛物线的一部分，且过点【答案】：（1）其中，，∴半径为5。

（2），且，因而选B。

【变式3】（1）直线: (t为参数)的倾斜角为（）。

A、B、C、D、（2）为锐角，直线的倾斜角（）。

A、B、C、D、【答案】：（1），相除得，∴倾斜角为，选C。

（2），相除得，∵，∴倾角为，选C。

例5．已知曲线的参数方程（、为常数）。

（1）当为常数()，为参数()时，说明曲线的类型；（2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。

思路点拨:通过消参，化为普通方程，再做判断。

解析：（1）方程可变形为（为参数，为常数）取两式的平方和，得曲线是以为圆心，为半径的圆。

（2）方程变形为（为参数，为常数）,两式相除，可得，即,曲线是过点且斜率的直线。

总结升华：从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。

因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。

举一反三：类型三：其他应用例6．椭圆内接矩形面积的最大值为_____________.思路点拨:由椭圆的对称性知内接矩形的各边平行于两轴，只需求出其中一个点的坐标就可以用来表示面积，再求出最大值。

解析：设椭圆上第一象限的点，则当且仅当时，取最大值，此时点.总结升华：利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。

举一反三：【变式1】求椭圆上的点到直线:的最小距离及相应的点的坐标。

【答案】：设到的距离为，则，（当且仅当即时取等号）。

∴点到直线的最小距离为，此时点，即。

【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_______个.【答案】：已知圆方程为，设其参数方程为（） 则圆上的点到直线的距离为，即∴或又 ，∴，从而满足要求的点一共有三个. 【变式3】实数、满足，求（1），（2）的取值范围.【答案】： （1）由已知，设圆的参数方程为（为参数）∴∵，∴（2）∵，∴.【巩固练习】1. 已知点M 的极坐标为-⎛⎝ ⎫⎭⎪53，π，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标为 A. 53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪π B. 543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪ C. 523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪π D. --⎛⎝ ⎫⎭⎪553，π 2. 点()22，-的极坐标为（ ）3. 圆心为C 36，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程为（ ） 4. 极坐标方程为cos 30ρθθ-=表示的圆的半径为（ ）5. 若A 33，π⎛⎝⎫⎭⎪，B -⎛⎝⎫⎭⎪36，π，则|AB|=___________，S A O B ∆=___________。

（其中O 是极点） 6. 极点到直线()cos sin ρθθ+=_____________。

7. 极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是____________。

8. 若圆C 的方程是2sin a ρθ=，则它关于极轴对称的圆心方程为____________，它关于直线θπ=34对称的圆的方程为____________。

9. 方程sec 0cos x a ab y b θθθ=⎧≠⎨=⎩（为参数，）表示的曲线是____________。

10. 直线x x t y y t =+=-⎧⎨⎩003（t 为参数）上任一点P 到()Px y 000，的距离为__________。

11. 直线2211216x t t x y A B y ⎧=+⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩为参数）与圆交于、两点，则AB 的中点坐标为__________。