球的体积和表面积[学习目标] 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.知识点一 球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝43πR 3(其中R 为球的半径).2.球的表面积公式S ＝4πR 2.思考 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 答 球没有底面，球的表面不能展开成平面. 知识点二 球体的截面的特点1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆.2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.题型一 球的表面积和体积例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.跟踪训练1 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B.64π3 C.32π D.32π3答案 D解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π. 题型二 球的截面问题例2 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6πB.43πC.46πD.63π 答案 B解析 如图，设截面圆的圆心为O ′， M 为截面圆上任一点， 则OO ′＝2，O ′M ＝1. ∴OM ＝(2)2＋1＝ 3. 即球的半径为 3. ∴V ＝43π(3)3＝43π.跟踪训练2 已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________.答案 9π解析 如图，是过长方体的一条体对角线AB 的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x ，y ，z ，则由已知，得⎩⎨⎧xy ＝3，yz ＝5，zx ＝15，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，z ＝ 5.所以球的半径R ＝12AB ＝12x 2＋y 2＋z 2＝32，所以S 球＝4πR 2＝9π.题型三 球的组合体与三视图例3 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π. 该几何体的体积为 V ＝23＋12×43π×13＝8＋2π3.跟踪训练3 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.解设正方体的棱长为a.①正方体的内切球球心是正方体的中心， 切点是正方体六个面的中心， 经过四个切点及球心作截面， 如图(1)所示，则有2r 1＝a ， 即r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.②球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)所示，则2r 2＝2a ，即r 2＝22a ， 所以S 2＝4πr 22＝2πa 2.③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)所示，则有2r 3＝3a ，即r 3＝32a ， 所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.轴截面的应用例4 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面没过铁球和球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度. 分析 分别表示出取出铁球前后水的体积→由水的体积不变建立等式→求出所求量. 解 如图，⊙O 是球的最大截面，它内切于△ABC ，球的半径为r .设将球取出后，水平面在MN 处，MN 与CD 交于点E .则DO ＝r ，AD ＝3r ，AB ＝AC ＝BC ＝23r ， ∴CD ＝3r .由图形知V 圆锥CE ∶V 圆锥CD ＝⎝⎛⎭⎫13π·ME 2·CE ∶⎝⎛⎭⎫13π·AD 2·CD ＝CE 3∶CD 3.又∵V 圆锥CD ＝π3(3r )2·3r ＝3πr 3，V 圆锥CE ＝V 圆锥CD －V 球O ＝3πr 3－43πr 3＝53πr 3，∴5πr 33∶3πr 3＝CE 3∶(3r )3，∴CE ＝315r .∴球从容器中取出后，水的深度为315r .1.直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A.36π，144π B.36π，36π C.144π，36πD.144π，144π2.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.12B.1C.2D.3 3.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________.4.若球的半径由R 增加为2R ，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍.5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.一、选择题1.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3C.43πD.323π 2.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为( ) A.8 B.8 2 C.8 3 D.4 23.两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶14.设正方体的表面积为24 cm 2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( )A.6π cm 3B.323π cm 3C.83π cm 3D.43π cm 35.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为( ) A.4π(r ＋R )2 B.4πr 2R 2 C.4πRrD.π(R ＋r )26.已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )A.32π3B.4πC.2πD.43π 7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( ) A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3二、填空题8.一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m 3.9.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为9π2，则正方体的棱长为_____.10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是________.11.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm.三、解答题12.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积.(其中∠BAC＝30°)13.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球，求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥的内切球的体积.当堂检测答案1.答案 B解析 球的半径为3，表面积S ＝4π·32＝36π，体积V ＝43π·33＝36π. 2.答案 D解析 设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3. 3.答案 32解析 设大球的半径为R ，则有43πR 3＝2×43π×13， R 3＝2，∴R ＝32.4.答案 8 4解析 球的半径为R 时，球的体积为V 1＝43πR 3，表面积为S 1＝4πR 2，半径增加为2R 后，球的体积为V 2＝43π(2R )3＝323πR 3，表面积为S 2＝4π(2R )2＝16πR 2. 所以V 2V 1＝323πR 343πR 3＝8，S 2S 1＝16πR 24πR 2＝4， 即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.5.答案 3π解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.课时精练一、选择题1.答案 C解析 由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2.设正方体外接球的半径为R ，则 3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π. 2.答案 A解析 ∵球的半径为1，且正方体内接于球，∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a ，则有3a 2＝4，即a 2＝43. ∴正方体的表面积为6a 2＝6×43＝8. 3.答案 A解析 由表面积公式知，两球的表面积之比为R 21∶R 22＝1∶9.4.答案 D解析 由正方体的表面积为24 cm 2，得正方体的棱长为2 cm ，故这个球的直径为2cm ，故这个球的体积为43π cm 3. 5.答案 C解析 方法一 如图，设球的半径为r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r .由勾股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝Rr .故球的表面积为S 球＝4πr 21＝4πRr . 方法二 如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连接OA ，OB ，则在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高.由相似三角形的性质得OF 2＝BF ·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1＝Rr ，故球的表面积为S 球＝4πRr .6.答案 D解析 ∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，∴正四棱柱的体对角线的长为1＋1＋(2)2＝2.又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，∴球的半径R ＝1.故球的体积为V ＝43πR 3＝43π. 7.答案 A解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解.如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm).设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5，∴V 球＝43π×53＝500π3(cm 3). 二、填空题8.答案 9π＋18解析 将三视图还原为实物图后求解.由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32； 上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V ＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18. 9.答案 3解析 先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长.设正方体棱长为a ，球半径为R ，则43πR 3＝92π，∴R ＝32，∴3a ＝3，∴a ＝ 3. 10.答案 814π 解析 由已知条件可知，球心在正四棱锥的高所在的直线上.设球的半径为R ，球心为O ，正四棱锥底面中心为E ，则OE ＝|4－R |，所以(4－R )2＋(2)2＝R 2，解得R ＝94.所以球的表面积S ＝4πR 2＝81π4. 11.答案 4解析 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意得6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4(cm).三、解答题12.解 如图所示，过C 作CO 1⊥AB 于O 1.在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R ，∴S 球＝4πR 2， 1AO S 圆锥侧＝π×32R ×3R ＝32πR 2，1BO S 圆锥侧＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴S 几何体表＝S 球＋1AO S 圆锥侧＋1BO S 圆锥侧 ＝112πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2. 故旋转所得几何体的表面积为11＋32πR 2.13.解 (1)如图作轴截面，则等腰三角形CAB 内接于⊙O ，⊙O 1内切于△ABC .设⊙O 的半径为R ，由题意，得43πR 3＝972π， 所以R 3＝729，R ＝9，所以CE ＝18.已知CD ＝16，所以ED ＝2.连接AE ，因为CE 是直径，所以CA ⊥AE ，所以CA 2＝CE ·CD ＝18×16＝288，所以CA ＝122，因为AB ⊥CD ，所以AD 2＝CD ·DE ＝16×2＝32，所以AD ＝42，S 圆锥侧＝π×42×122＝96π.(2)设内切球O 1的半径为r ，因为△ABC 的周长为2×(122＋42)＝322，所以S △ABC ＝12r ·322＝12×82×16，解得r ＝4， 所以内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563π.（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。