截面，由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截
面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)． ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm)． 设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm. 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202， 在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2，解得x＝15，
∴R2＝x2＋202＝252，∴R＝25(cm)．
∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)． ∴球的表面积为2500π cm2.
(2)当截面在球心的两侧时，如图乙所示为球的轴截面，
由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1、O2分别为两截面圆
的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B. 设球的半径为R.
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)． ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm)． 设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400. 在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49. ∴x2＋400＝(9－x)2＋49， 解得x＝－15(cm)，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为2500π cm2.
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：由4πR2－4πr2＝48π，2πR＋2πr＝12π，得R－r ＝2.
答案：C
1．球的体积比等于半径的立方比，表面积之 比等于半径的平方比．
2．球体与多面体的组合体的解决关键是作出 以球的轴截面为主的球及多面体的轴截面图，实现空 间几何向平面几何的转化.
练习2.一个球的半径是2，它的表面积是__1_6_π____．
练习3.一个球的表面积变为原来的一半，半径是原来的 __2_2_____倍．
练习4.一个球的体积是36π，它的表面积是___3_6_π___．
思考应用
1．用一个平面去截球体，截面是什么平面图形？试在 球的轴截面图形中，展示截面图与球体之间的内在联系．
3．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的 半径是________．
解析：设大球半径为 R，则43πR3＝43π·13＋43π·13， ∴R3＝2，R＝3 2. 答案：3 2
为原来的(
球的体积和表面积 把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大
)
A．2倍
B．2 2 倍
C. 2 倍
D．3 2 倍
解析：作出截面图，分别求出三个球的半径．
设正方体的棱长为a.
(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个 正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图甲，所 以有2r1＝a，r1＝a2 ，所以S1＝4πr12＝πa2.
(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正
方体的对角面得截面，如图乙，所以有2r2＝
解析：可以想像，用一个平面 去截球体，截面是圆面，在球的轴截 面图中，截面圆与球的轴截面的关系 如图所示．若球的半径为R，截面圆 的半径为r，OO′＝d.在Rt△OO′C中， OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2.
2.正方体的外接球和内切球的球心分别在正方体的什么位 答案：都在正方体的中心.
空间几何体
1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.2 球的体积和表面积
基础梳理
1．球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝___43π_R_3___. 练习1.一个球的半径是2，它的体积为___3_32_π___． 2．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝_4_π_R_2__，即球的表面 积等于它的大圆面积的__4__倍．
2
a，r2＝
2 2
a，
所以S2＝4πr22＝2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面
得截面，如图丙，所以有2r3＝
3a，r3＝
3 2
a，所以S3＝4πr32＝
3πa2.
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
点评：解决与球有关组合体问题，可通过画过球心的截面 来分析．下列结论常用：
解析：V＝Sh＝πr2h＝43πR3，R＝3 64×27＝12 cm. 答案：12
1．若球的大圆周长是C，则这个球的表面积是( )
C2 A.4π
C2 B.2π
C2 C. π
D．2πC2
解析：由 2πR＝C，得 R＝2Cπ，∴S 球＝4πR2＝Cπ2.
答案：C
2．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为 12π，这两个球的半径之差为( )
解析：设改变前、后球的半径分别是r、r′，则由条件可
知4πr′2＝2×4πr2.∴r′＝ r.V′＝ 2
4πr3′3＝2 2×4π3r3.
答案：B
一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面 积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．
解析：(1)当截面在球心的同侧时，如图甲所示为球的轴
点评：球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体 几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球 的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来 分析解决问题．
球的内接、外切几何体问题
有三个球，第一个球内切于正方体，第二个 球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各 个顶点，求这三个球的表面积之比．
自测自评
1．若球的直径为1，则这个球的表面积为( )
A．4π
B．2π
C．π
D.
π 4
解析：球的半径为 1 ，球的表面积为4π×( )12＝π.
2
2
答案：C
2．两个球的半径之比为1∶2，那么这两个球的体积之 4
解析：V1∶V2＝R13∶R23＝1∶8. 答案：C
①长方体的8个顶点在同一个球面，则长方体的体对角线 是球的直径；
②球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的 棱长；
③球与正方体的8条棱均相切，则球的直径是正方体的面 对角线．
球的体积、表面积的综合应用
一个直径为32 cm的圆柱形水桶中放入一个铁 球，球全部没入水中后，水面升高9 cm，则此球的半径为 ________cm.