第一章矢量分析①A AA e =u r uu ru r②cos A BA Bθ⋅=⋅u r u ru r u r③A u r 在B u r 上的分量B AB A BA COS BA θ⋅==u r u ru r u r④e x y z x y z xyzA B e e AA A BBB⨯=u r u rr r r⑤A B A B⨯=-⨯u r u r u r u r ,()A B C A B A C⨯+=⨯+⨯u r u r u r u r u r u r u r ,()()()A B C B C A C A B ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯u r u r u r u r u r u r u r u r u r (标量三重积)，()()()A B C B A C C A B ⨯⨯=⋅-⋅u r u r u r u r u r u r u r u r u r⑥ 标量函数的梯度xyzu u u uxyze e e ∂∂∂∇=++∂∂∂u u r u u r u u r⑦求矢量的散度=y x zA x y zA A A ∂∂∂∇⋅++∂∂∂u r 散度定理：矢量场的散度在体积V 上的体积分等于在矢量场在限定该体积的闭合曲面S 上的面积分，即VSFdV F d S ∇⋅=⋅⎰⎰u r u r u rÑ，散度定理是矢量场中的体积分与闭合曲面积分之间的一个变换关系。

⑧给定一矢量函数和两个点，求沿某一曲线积分E dl ⋅⎰u r r，x y CCE dl E dx E dy ⋅=+⎰⎰u r r积分与路径无关就是保守场。

⑨ 如何判断一个矢量是否可以由一个标量函数的梯度表示或者由一个矢量函数的旋度表示？如果0A ∇⋅=u r 0A ∇⨯=u r，则既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；如果0A ∇⋅u r ≠，则该矢量可以由一个标量函数的梯度表示；如果0A ∇⨯u r≠，则该矢量可以由一个矢量函数的旋度表示。

矢量的源分布为A ∇⋅u r A ∇⨯u r.⑩ 证明()0u ∇⨯∇=和()0A ∇⋅∇⨯=u r证明：解 （1）对于任意闭合曲线C 为边界的任意曲面S ，由斯托克斯定理有()d d dSCCuu u l l ∂∇⨯∇=∇==∂⎰⎰⎰S l g g 蜒由于曲面S 是任意的，故有()0u ∇⨯∇=（2）对于任意闭合曲面S 为边界的体积τ，由散度定理有12()d ()d ()d ()d SS S ττ∇∇⨯=∇⨯=∇⨯+∇⨯⎰⎰⎰⎰A A S A S A S g g g g Ñ 其中1S 和2S 如题1.27图所示。

由斯托克斯定理，有11()d d S C ∇⨯=⎰⎰A S A l g g Ñ， 22()d d S C ∇⨯=⎰⎰A S A l g g Ñ由题1.27图可知1C 和2C 是方向相反的同一回路，则有 12d d C C =-⎰⎰A l A l g g 蜒所以得到1222()d d d d d 0C C C C ττ∇∇⨯=+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰A A l A l A l A l g g g g g 蜒蜒由于体积τ是任意的，故有 ()0∇∇⨯=A g附：圆柱坐标系中：散度11()zF F F F zφρρρρρφ∂∂∂∇⋅=++∂∂∂u r ；旋度 ()111()()[]zz z z ze e e F F F F F F F e e e z z z F F F ρφφρφρρφρφρρρρφρφρρρφρ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇⨯==-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂u u ru u r u r u r u u r u u r u r球坐标系中： 散度22111()(sin )sin sin r F F r F F r r r r φθθθθθφ∂∂∂∇⋅=++∂∂∂u r旋度2sin ()11111()[(sin )][][]sin sin sin sin rr r r r e re r e rF F F rF F F e F e e r rr r r r r F rF r F θφφθθφθφθφθθθθφθθφθφθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇⨯==-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂u r u u ru u r u r u r u u r u u r第二章 电磁场的基本规律① 电荷守恒定律（电流连续性方程）1题1.27图积分形式：SVdJ d S dV dt ρ⋅=-⎰⎰u r u r Ñ 微分形式：J tρ∂∇⋅=-∂u r 对于恒定电流场0J ∇⋅=u r （恒定电流场是一个无散度的场）②电位移()()()0r r r D E P ε=+r r ru r u r u r③ 麦克斯韦方程组积分形式：C S S D H dl J d S d S t ∂⋅=⋅+⋅∂⎰⎰⎰u ru u r r u r u r ur ÑC S B E dl d S t ∂⋅=-⋅∂⎰⎰u ru r r u r Ñ 0SB d S ⋅=⎰u r u r ÑSVD d S dV ρ⋅=⎰⎰u r u r Ñ微分形式：DH J t∂∇⨯=+∂u r u u r u rB E t∂∇⨯=-∂u r u r0B ∇⋅=u rD ρ∇⋅=u r④媒质的本构关系：D E ε=u r u r , B H μ=u r u u r，J E σ=u r u r⑤ 电磁场的边界条件 情况一：边界条件的一般形式12()n S e H H J ⨯-=u u r u u r u u u r u u r 12()0n e E E ⨯-=u u r u u r u u r 12()0n e B B ⋅-=u u r u u r u u r 12()n S e D D ρ⋅-=u u r u u r u u r情况二：两种媒质都不是理想导体的边界条件12()0n e H H ⨯-=u u r u u r u u u r 12()0n e E E ⨯-=u u r u u r u u r 12()0n e B B ⋅-=u u r u u r u u r 12()0n e D D ⋅-=u u r u u r u u r情况三：理想导体的边界条件1n S e H J ⨯=u u r u u r u u r 10n e E ⨯=u u r u u r 10n e B ⨯=u u r u u r 1n S e D ρ⨯=u u r u u r第三章静态电磁场及其边值问题的解① 静电场的基本方程和边界条件基本方程积分形式 0S V C D d S dV E dl ρ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⎰⎰⎰u r u ru r r ÑÑ 微分形式 =0D D E E ρε⎧∇⋅=⎪⎨∇⋅=⎪⎩u ru r ur u r （）《静电场是有源无旋场》 边界条件12()0n e E E ⨯-=u u r u u r u u r 12()n S e D D ρ⋅-=u u r u u r u u r② 标量电位φ满足的边界条件 一般情况1212S n nϕϕεερ∂∂-=-∂∂ 分界面上不存在自由面电荷0Sρ= 1212n nϕϕεε∂∂=∂∂若第二种媒质为导体，达到静电平衡后导体内部的电场为0，导体表面上电位的边界条件 nS ϕϕερ=⎧⎪⎨∂=-⎪∂⎩常数'()3'4r q r r E r r πε-=⋅-rur r u r u r r ()()r E r ϕ=-∇r u r r '()4qr C r r ϕπε=+-rur r ③ 电场的能量2111222e V V VW E DdV E EdV E dVεε=⋅=⋅=⎰⎰⎰u r u r u r u r电场的能量密度21122e w D E E ε=⋅=u r ur④ 磁场的能量m 12VW H BdV =⋅⎰u ur u r磁场的能量密度22m 111222B w B H H μμ=⋅==ur u u r ⑤ 静态场的边值问题及解的唯一性定理：在场域V 的边界面S 上给定ϕ或nϕ∂∂的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 内具有唯一解.⑥ 镜像法：用位于场域边界外虚设的较为简单的镜像电荷来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，在保持边界条件不变的情况下，将分界面移去，这样就把原来有分界面的非均匀媒质空间变换成无界的单一媒质空间来求解.镜像法的理论依据：静电场解的唯一性定理.应用镜像法的两个要点：（1）正确找出镜像电荷的个数、位置以及电荷量的大小和符号，以满足边界条件不变为其准则；（2）注意保持待求解的场域（称为有效区）内的电荷分布不变，即镜像电荷必须置于有效区之外.对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为=nπθ，则所有镜像电荷的数目为21n -个⑦矢量磁位A u r：根据恒定磁场的无散度特征（0B ∇⋅=u r ）可以用一矢量的旋度A ∇⨯u r 来计算磁感应强度B u r ，B A =∇⨯u r u r ，A u r即为矢量磁位标量磁位：在没有传导电流的区域（J u r ）由于0H ∇⨯=u u r ，可引入标量磁位m ϕ使得m H ϕ=-∇u u r在恒定磁场分析中引入A u r和m ϕ的优点：在均匀、线性和各向同性的磁介质中，矢量磁位满足泊松方程2A J μ∇=-u r u r 或拉普拉斯方程（0J =u r 时）20A ∇=u r ；在均匀、线性和各向同性的磁介质中，标量磁位m ϕ满足拉普拉斯方程20m ϕ∇=⑧ 镜像法例题：如题4.24（a ）图所示，在0<z 的下半空间是介电常数为ε的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h 处有一点电荷q ，求：（1）0>z 和0<z 的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q '。

解 （1）在点电荷q 的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。

根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题4.24图（b ）、（c ）所示）0q q εεεε-'=-+，位于 h z -=0q q εεεε-''=+， 位于 h z =上半空间内的电位由点电荷q 和镜像电荷q '共同产生，即101044q q R R ϕπεπε'=+='04q πε⎧⎫ 下半空间内的电位由点电荷q 和镜像电荷q ''共同产生，即224q q R ϕπε''+==（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为()1200120()p z z z z E E n P P σε===⋅-=-=0210022320()()2()()z hq z z r h εεϕϕεπεε=-∂∂-=-∂∂++极化电荷总电量为d 2d P P P S q S r r σσπ∞===⎰⎰0223200()d ()hq rr r h εεεε∞--=++⎰00()q q εεεε-'-=+第四章 时变电磁场① 时谐电磁场{}()()()(,)(,)(,)(,)Re ()()()y x z j r j r j r j tr t x x y z x xm y ym z zm r t y r t z r t F e F e F e F e F r e e F r e e F r e e φφφω⎡⎤=++=++⎣⎦r r r r u u r r r u r u u r u u r u r u u r r u u r r u r r=Re ()j t m F r e ω•⎡⎤⎢⎥⎣⎦r（★）例题：（1）将下面的场矢量的瞬时值形式写为复数形式 (,)cos()sin()z t x xm x y ym y E e E t kz e E t kz ωφωφ=-++-+u r u u r u u r解：由于(,)cos()cos()2z t x xm x y ym y E e E t kz e E t kz πωφωφ=-++-+-u r u u r u u r=()()2Re y x j t kz j t kz x xm y ym e E e e E e πωφωφ-+--+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦u u r u u r根据式子★，可知电场强度的复矢量为()()2()()y y x x j kz j j kz j jkz m x xm y ym x xm y ym E z e E e e E e e E e e jE e e πφφφφ•-+--+-=+=-u u r u u r u u r u u r（2）已知电场强度复矢量()=e cos()m x xm z E z jE k z •u u r，其中xm E 和z k 为实常数。