2015-2016学年高中数学 第1章 4.1-4.2单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 单位圆与周期性课时作业 北师大版必修4一、选择题1．有下列命题，其中正确的个数是( ) ①终边相同的角的同名三角函数值相等； ②同名三角函数值相等的角也相等；③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等； ④不相等的角，同名三角函数值也不相等． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 对于①，由诱导公式一可得正确；对于②，由sin30°＝sin150°＝12，但30°≠150°，所以②错误；对于③，如α＝60°，β＝120°的终边不相同，但sin60°＝sin120°＝32，所以③错误；对于④，由③中的例子可知④错误． 2．已知sin α＝35，cos α＝－45，则角α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 由sin α＝35>0得角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－45<0得角α的终边在第二或第三象限．综上，角α所在的象限是第二象限．3．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] D[解析] ∵α是第二象限角，∴cos α<0，sin α>0. ∴点P 在第四象限．4．点A (x ，y )是－300°角终边与单位圆的交点，则yx的值为( ) A ． 3B ．－ 3C ．33D ．－33[答案] A[解析] x ＝cos(－300°)＝cos(－360°＋60°)＝cos60°＝12，y ＝sin(－300°)＝sin(－360°＋60°)＝sin60°＝32. ∴y x＝ 3.5．下列函数是周期函数的有( ) ①y ＝sin x ②y ＝cos x ③y ＝x 2A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③[答案] C[解析] 很明显y ＝sin x 和y ＝cos x 是周期函数，函数y ＝x 2的图像不是重复出现，故函数y ＝x 2不是周期函数．6．已知角α的终边上一点P (1，－2)，则sin α＋cos α等于( ) A ．－1B ．55C ．－55D ．－ 5[答案] C[解析] ∵x ＝1，y ＝－2，∴r ＝ 5.∴sin α＝y r ＝－255，cos α＝x r ＝55.∴sin α＋cos α＝－255＋55＝－55.二、填空题7．sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝________. [答案] 1[解析] 原式＝sin(360°＋60°)cos(720°＋30°)＋sin(－720°＋30°)cos(－720°＋60°)＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝32×32＋12×12＝1. 8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.[答案] －8[解析] 根据题意sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，y42＋y2＝－255， 又∵y <0，∴y ＝－8(符合题意)，y ＝8(舍去)． 综上知y ＝－8. 三、解答题9．已知角θ终边上一点P 的坐标为(x,3)，x ≠0，且cos θ＝1010x .求sin θ和cos θ的值．[解析] 因为cos θ＝1010x ＝xr，所以10xr ＝10x . 因为x ≠0，所以r ＝10.由x 2＋32＝r 2，得x ＝±1，又因为y ＝3>0， 所以θ是第一或第二象限角． 当θ是第一象限角时，取x ＝1，则 sin θ＝yr＝310＝31010，cos θ＝1010.当θ是第二象限角时，取x ＝－1，则 sin θ＝yr＝310＝31010，cos θ＝－1010.10．计算下列各式的值：(1)m 2sin(－630°)－2mn cos(－720°)； (2)sin(－236π)－cos 133π.[解析] (1)原式＝m 2·sin(－720°＋90°)－2mn ·cos0° ＝m 2·sin90°－2mn cos0° ＝m 2－2mn .(2)原式＝sin(－4π＋π6)－cos(4π＋π3)＝sin π6－cos π3＝12－12＝0.一、选择题1．已知角α的终边经过点(2a ＋1，a －2)，且cos α＝－35，则实数a 的值是( )A ．－2B ．211C ．－2或211D ．2[答案] A[解析] 由余弦函数的定义知，2a ＋12a ＋12＋a －22＝－35，化简整理得11a 2＋20a －4＝0，解得a ＝－2或a ＝211，又2a ＋1<0，所以a ＝－2.2．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a 的取值范围为( )A ．－2<a <3B ．－2<a ≤3C ．－2≤a <3D ．－3≤a <2[答案] B[解析] ∵sin α>0，cos α≤0， ∴α位于第二象限或y 轴正半轴上． ∴3a －9≤0且a ＋2>0. ∴－2<a ≤3. 二、填空题3．若f (x )的定义域为R ，对任意的x ，都有f (x ＋2)＝－1f x，且f (0)＝1，则f (2 016)＝________.[答案] 1[解析] ∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝－1fx ＋2＝f (x )，即f (x )是周期为4的函数．f (2 016)＝f (504×4)＝f (0)＝1.4．已知(12)sin θ<1且2cos θ<1，则θ为第________象限角．[答案] 二[解析] ∵(12)sin θ<1＝(12)0，∴sin θ>0.又2cos θ<1＝20，∴cos θ<0.∴θ为第二象限角．三、解答题5．已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)． (1)求sin α，cos α的值；(2)求α的终边与单位圆交点Q 的坐标． [解析] (1)r ＝－4a2＋3a2＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，角α在第二象限，∴sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45.当a <0时，r ＝－5a ，角α在第四象限， ∴sin α＝－35，cos α＝45.(2)由正弦、余弦函数的定义知，α的终边与单位圆交点的坐标为Q (cos α，sin α)， ∴当a >0时，Q (－45，35)，当a <0时，Q (45，－35)．6．若sin2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限． [解析] ∵sin2α>0，∴2k π<2α<2k π＋π(k ∈Z )， ∴k π<α<k π＋π2(k ∈Z )．当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )， 有2m π<α<2m π＋π2(m ∈Z )；当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )， 有2m π＋π<α<2m π＋3π2(m ∈Z )．∴α为第一或第三象限角．又由cos α<0，可知α在第二或第三象限，或α终边在x 轴的非正半轴上． 综上可知，α是第三象限角．7．已知1|sin α|＝－1sin α，且lgcos α有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M (35，m )，求m 的值及sin α的值．[解析] (1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，∴α是第三或第四象限角或y 轴的非正半轴上的角． 由lgcos α有意义可知cos α>0，∴α是第一或第四象限或x 轴的非负半轴上的角． 综上可知，角α是第四象限角． (2)∵点M (35，m )在单位圆上，∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.根据正弦函数的定义，可知sin α＝－45.。