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2017年北京市高考理科数学试卷及答案

绝密★启封并使用完毕前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)若集合A={x|–2x1},B={x|x–1或x3},则AB=(A){x|–2x–1} (B){x|–2x3}(C){x|–1x1} (D){x|1x3}(2)若复数(1–i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是(A)(–∞,1)(B)(–∞,–1)(C)(1,+∞)(D)(–1,+∞)(3)执行如图所示的程序框图,输出的s值为(A)2(B)3 2(C )53(D )85(4)若x ,y 满足,则x + 2y 的最大值为(A )1 (B )3 (C )5 (D )9(5)已知函数1(x)33xx f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则(x)f(A )是奇函数,且在R 上是增函数 (B )是偶函数,且在R 上是增函数 (C )是奇函数,且在R 上是减函数(D )是偶函数,且在R 上是减函数(6)设m,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m n λ=”是“m n 0⋅<”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件(7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为(A )32 (B )23 (C )22 (D )2(8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为.则下列各数中与MN最接近的是 (参考数据:lg3≈0.48)(A )1033 (B )1053 (C )1073 (D )1093第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

(9)若双曲线221y x m-=的离心率为3,则实数m =_______________. (10)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1,a 4=b 4=8,则22a b =__________. (11)在极坐标系中,点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=,点P 的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为 .(12)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称。

若1sin 3α=,cos()αβ-= .(13)能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a+b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为______________________________.(14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i 的横、纵坐标学科&网分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数,i =1,2,3。

①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数,则Q 1,Q 2,Q 3中最大的是_________。

②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p 1,p 2,p 3中最大的是_________。

三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。

(15)(本小题13分) 在△ABC 中,A ∠ =60°,c =37a . (Ⅰ)求sin C 的值;(Ⅱ)若a =7,求△ABC 的面积. (16)(本小题14分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为正方形,平面P AD ⊥平面ABCD ,点M 在线段PB 上,PD//平面MAC ,P A =PD =6,AB=4.(I)求证:M 为PB 的中点; (II)求二面角B-PD-A 的大小;(III)求直线MC 与平面BDP 所成角的正炫值。

(17)(本小题13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组个50名,一组服药,另一组不服药。

一段时间后,记录了两组患者的生理指标xy 和的学科.网数据,并制成下图,其中“·”表示服药者,“+”表示为服药者.(Ⅰ)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60的概率;(Ⅱ)从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E (ξ);(Ⅲ)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.(只需写出结论)(18)(本小题14分)已知抛物线C :y 2=2px 过点P (1,1).过点(0,12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ,B ,其中O 为原点. (Ⅰ)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)求证:A 为线段BM 的中点. (19)(本小题13分) 已知函数f (x )=e x cos x −x .(Ⅰ)求曲线y = f (x )在点(0,f (0))处的切线方程; (Ⅱ)求函数f (x )在区间[0,2π]上的最大值和最小值.(20)(本小题13分)设{a n }和{b n }是两个等差数列,记c n =max{b 1–a 1n ,b 2–a 2n ,…,b n –a n n }(n =1,2,3,…),其中max{x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数.(Ⅰ)若a n =n ,b n =2n –1,求c 1,c 2,c 3的值,并证明{c n }是等差数列; (Ⅱ)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n ≥m 时,nc M n>;或者存在正整数m ,使得c m ,c m +1,c m +2,…是等差数列.2017年北京高考数学(理科)参考答案与解析1.A【解析】集合{}|21=-<<A x x 与集合{}|13=<->或B x x x 的公共部分为{}|21-<<-x x ,故选A . 2.B【解析】(1i)(i)(1)(1)i -+=++-a a a ,对应的点在第二象限,∴1010+<⎧⎨->⎩a a 解得:1<-a故选B .3.C【解析】当0=k 时,3<k 成立,进入循环,此时1=k ,2=s ;当1=k 时,3<k 成立,继续循环,此时2=k ,32=s ; 当2=k 时,3<k 成立,继续循环,此时3=k ,53=s ;当3=k 时,3<k 不成立,循环结束,输出s . 故选C .4.D【解析】设2=+z x y ,则122=-+zy x ,由下图可行域分析可知,在()33,处取得最大值,代入可得max 9=z ,故选D .5.A【解析】奇偶性:()f x 的定义域是R ,关于原点对称,由()()113333--⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭xxxx f x f x 可得()f x 为奇函数. 单调性:函数3=xy 是R 上的增函数,函数13⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 是R 上的减函数,根据单调性的运算,增函数减去减函数所得新函数是增函数,即()1=33⎛⎫- ⎪⎝⎭xxf x 是R 上的增函数.综上选A6.A【解析】由于m ,n 是非零向量,“存在负数λ,使得λ=m n .”根据向量共线基本定理可知m 与n 共线,由于0λ<,所以m 与n 方向相反,从而有0⋅<m n ,所以是充分条件。

反之,若0⋅<m n ,m 与n 方向相反或夹角为钝角时,m 与n 可能不共线,所以不是必要条件。

综上所述,可知λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分不必要条件,所以选A .7.B【解析】如下图所示,在四棱锥-P ABCD 中,最长的棱为PA ,所以2222=2(22)23+=+=PA PC AC ,故选B .8.D【解析】由于36180lglg lg lg3lg103610.488093.28=--⨯-=MM N N=≈, 所以93.2810MN≈,故选D . 9.2【解析】∵双曲线的离心率为3∴3=ca∴223=c a∵1=a ,=b m ,222+=a b c ∴222223312==-=-=-=b m c a a a10.1【解析】∵{}n a 是等差数列,11=-a ,48=a ,∴公差3=d ∴212=+=a a d∵{}n b 为等比数列,11=-b ,48=b ∴公比2=-q ∴212==b b q 故221=a b 11.1【解析】把圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=改写为直角坐标方程222440+--+=x y x y ,化简为22(1)(2)1x y -+-=,它是以()1,2为圆心,1为半径的圆。

画出图形,连结圆心O 与点P ,交圆于点A ,此时AP 取最小值,A 点坐标为()1,1,1=AP .)37 =c a由正弦定理得:)37=<c a∴∠<∠C∴∠C为锐角由sin=Csin sin[π()]sin()B A C A C ∴=-+=+sin cos cos sin A C A C =+313133214214=⨯+⨯437=又337377==⨯=c a1sin 2ABC S ac B ∆∴=1437327=⨯⨯⨯63=16.【解析】(1)取AC 、BD 交点为N ,连结MN .∵PD ∥面MAC PD ⊂面PBD面PBD ∩面MAC MN = ∴PD MN ∥在PBD △中,N 为BD 中点 ∴M 为PB 中点 (2)方法一:取AD 中点为O ,BC 中点为E ,连结OP ,OE ∵PA PD =,∴PO AD ⊥ 又面PAD ⊥面ABCD 面PAD ∩面ABCD AD = ∴PO ⊥面ABCD以OD 为x 轴,OE 为y 轴,OP 为z 轴建立空间直角坐标可知()200D ,,,()200A -,,,()240B -,,,()002P ,, 易知面PD 的法向量为()010m =,, 且()202PD =-,,,()242PB =--,, 设面PBD 的法向量为()n x y z =,, 2202420x z x y z ⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 可知()112n =,,1m n <>=,由图可知二面角的平面角为锐角∴二面角B PD A --方法二:作AH PD ⊥,交3MC ⎛= ⎝,由(2)题面(11n =,,MC 与平面2321412MC n +-<>=+⋅,BD F =,取AB 中点中点G ,连MG ,易证点∵平面PAD ⊥平面ABCD ,⊥平面ABCD MG ⊥平面ABCD GC ,GC =设直线()102=+≠:MN y kx k 联立212⎧=+⎪⎨⎪=⎩y kx y x有()221104+-+=k x k x , 考虑()22114124∆=--⨯⨯=-k k k ,由题可知有两交点,所以判别式大于零,所以12<k .由韦达定理可知:1221-+=kx x k……①, 12214=x x k ……②212121122112112222+=+=++++=+=+OB OM ON OM y y k k k k x x kx kx x x k x x x x 将①②代入上式,有()21212212222121224-++=+=+-=⨯kx x k k k k k x x k即22+=+==ON OM OB OM OA k k k k k ,所以2=+A B M y y y 恒成立 ∴A 为BM 中点,得证.法二:当直线MN 斜率不存在或斜率为零时,显然与抛物线只有一个交点不满足题意,所以直线MN 斜率存在且不为零.设10,2⎛⎫⎪⎝⎭为点,过Q 的直线MN 方程为()102=+≠y kx k ,设1122(,),(,)M x y N x y ,显然,12,x x 均不为零.联立方程212⎧=⎪⎨=+⎪⎩y x y kx 得221(1)04+-+=k x k x , 考虑,由题可知有两交点,所以判别式大于零,所以12<k . 由韦达定理可知:1221-+=kx x k……①, ……②由题可得,A B 横坐标相等且同为1x ,且22:=ON y l y x x ,B 在直线ON 上, 又A 在直线OP :=y x 上,所以121112(,),,⎛⎫⎪⎝⎭x y A x x B x x ,若要证明A 为BM 中点,只需证2=+A B M y y y ,即证121122+=x y y x x ,即证1221122+=x y x y x x , 将11221212⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y kx y kx 代入上式,即证21121211()()222+++=kx x kx x x x ,即12121(22)()02-++=k x x x x ,将①②代入得2211(22)042kk k k --+=,化简有恒成立, 所以2=+A B M y y y 恒成立, 所以A 为BM 中点.19.【解析】(1)∵()e cos =-x f x x x∴(0)1,()e cos e sin 1e (cos sin )1'==--=--x x x f f x x x x x ∴0(0)e (cos0sin0)10'=--=f∴()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为(0)(0)(0)'-=-y f f x ,即10y -=. (2)令()()e (cos sin )1'==--x g x f x x x()e (cos sin )+e (sin cos )2e sin '=---=-x x x g x x x x x x∵π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,时,()2e sin 0'=-<x g x x∴()g x 在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递减∴π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,时,()(0)(0)0g x g f '<==,即()0'<f x∴()f x 在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递减∴0=x 时,()f x 有最大值(0)1=f ;π2=x 时,()f x 有最小值2ππππe cos 2222π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f .20.【解析】(1)易知11=a ,22=a ,33=a 且11=b ,23=b ,35=b .∴1110=-=c b a ,{}{}21122max 22max 111=--=--=-,,c b a b a ,{}{}3112233max 333max 2342=---=---=-,,,,c b a b a b a .下面我们证明,对*∀∈N n 且2n ≥,都有11=-⋅n c b a n . 当*∈N k 且2k n ≤≤时,()()11-⋅--⋅k k b a n b a n()211⎡⎤=---+⎣⎦k nk n ()()221=---k n k ()()12=--k n∵10->k 且20-n ≤,∴()()11110-⋅--⋅⇒-⋅-⋅k k k k b a n b a n b a n b a n ≤≥.因此,对*∀∈N n 且2n ≥,111=-⋅=-n c b a n n ,则11+-=-n n c c . 又∵211-=-c c ,故11+-=-n n c c 对*∀∈N n 均成立,从而{}n c 为等差数列.(2)设数列{}n a 与{}n b 的公差分别为a d ,b d ,下面我们考虑n c 的取值.对11-⋅b a n ,22-⋅b a n ,…,n n b a n -⋅, 考虑其中任意项-⋅i i b a n (*∈N i 且1i n ≤≤), -⋅i i b a n()()1111b a b i d a i d n =+--+-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 11()(1)()b a b a n i d d n =-⋅+--⋅下面我们分0=a d ,0>a d ,0<a d 三种情况进行讨论. (1)若0=a d ,则()()111-⋅=-⋅+-⋅i i b b a n b a n i d ①若0b d ≤,则()()()1110-⋅--⋅=-⋅i i b b a n b a n i d ≤ 则对于给定的正整数n 而言,11=-⋅n c b a n此时11+-=-n n c c a ,故{}n c 为等差数列.②若0>b d ,则()()()0-⋅--⋅=-⋅i i n n b b a n b a n i n d ≤ 则对于给定的正整数n 而言,1=-⋅=-⋅n n n n c b a n b a n . 此时11n n b c c d a +-=-,故{}n c 为等差数列.此时取1=m ,则123,,,c c c 是等差数列,命题成立. (2)若0>a d ,则此时-⋅+a b d n d 为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数. 故必存在*∈N m ,使得当n m ≥时,0-⋅+<a b d n d则当n m ≥时,()()()()1110-⋅--⋅=--⋅+i i a b b a n b a n i d n d ≤(*∈N i ,1i n ≤≤). 因此,当n m ≥时,11=-⋅n c b a n .此时11n n c c a +-=-,故{}n c 从第m 项开始为等差数列,命题成立.(3)若0<a d ,则此时-⋅+a b d n d 为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数. 故必存在*∈N s ,使得当n s ≥时,0-⋅+>a b d n d则当n s ≥时,()()()()0i i n n a b b a n b a n i n d n d -⋅--⋅=--⋅+≤(*∈N i ,1i n ≤≤) 因此,当n s ≥时,=-⋅n n n c b a n . 此时nc n -⋅=n n b a n n=-+n n ba n()11-=-⋅+-++ba ab b d d n d a d n令0-=>a d A ,1-+=a b d a d B ,1-=b b d C 下面证明=++n c CAn B n n 对任意正数M ,存在正整数m ,使得当n m ≥时,>n c M n. ①若0C ≥,则取1⎡⎤-=+⎢⎥⎣⎦M B m A ([]x 表示不大于x 的最大整数)当n m ≥时,1n M B c An B Am B A B n A ⎛⎫⎡-⎤++=++ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭≥≥->⋅+=M BA B M A , 此时命题成立.②若0<C ,则取1M C B m A ⎡--⎤=+⎢⎥⎣⎦当n m ≥时,--++++>⋅++--++=nM C B c An B C Am B C A B C M C B B C M n A ≥≥≥. 此时命题也成立.因此,对任意正数M ,存在正整数m ,使得当n m ≥时,>nc M n. 综合以上三种情况,命题得证.。

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