2
原式 lim
t 0
lim
(1 2 t )
1
2
(1 t )
2t
1
2
t 0
lim
(1 2t )
3
2
1 (1 t ) 2
3
2
t 0
2

1 4
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作业 P137 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), 4
第三节 目录
证: 无妨假设 f (a) F (a) 0, 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 西定理条件, 故
f ( x) F ( x) f ( x) f (a) F ( x) F (a) lim
x a

f ( ) F ( )
( 在 x , a 之间)
f ( x) k F ( x) f ( x) lim k lim x a F ( x ) F ( x) x a lim f ( x) k F ( x) F ( x)
x a
k 0 , 可用 1) 中结论
f ( x) lim k x a F ( x )
0 0
洛必达法则
0
型
f g
1 g 1 g
令 y fg 取对数
型
0 型
0

1 f

型
1 f
f g
f
1 g
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思考与练习
1. 设 lim
f ( x) g ( x)
是未定式极限 , 如果
f ( x ) g ( x )
极限
不存在 , 是否
f ( x) g ( x)
1 sin x cos x
解: 原式 lim (
x
2
1 cos x

sin x cos x
) lim
x
2
lim
x
2
cos x sin x
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0
0
取倒数 转化
0
0

通分 转化
0
取对数 转化
1
0

0 型
0
例7. 求 lim x .
lim
f ( x ) k F ( x ) F ( x ) lim f ( x) F ( x)
x a

x a
lim
f ( x) F ( x)
x a
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3) lim
f ( x) F ( x)
x a
时, 结论仍然成立. ( 证明略 )
说明: 定理中 x a 换为
法2 原式 lim n (n 1)
n
1 2
1 n
n
ne
u
1 ln n n
1
lim
e
1 ln n n
1
n
n
1 2
～ e 1 u
ln n n
1 2
lim
1 ln n n
n
n
1 2
lim
n
0
例3 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
0 ,1 , 型
2 4 2 2 2
2
2
解: 原式 = lim
lim
x 0
x 0
lim
x x
2
4
x 0 sec x cos x
lim
2x 4x
3
x 0
sec x tan x
x 2 4x
2 2
lim
x 0
sin x sec x 1

第三节 目录 上页 下页 返回 结束
2
2
2
x 0
lim
x0
tan x 3x
2
sec x 1 tan x
2

1 3
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例9. 求 lim
n
n ( n n 1) .
0型
法1 用洛必达法则 分析: 为用洛必达法则 , 必须改求 lim x ( x 1) .
x
1 2 1 x
但对本题用此法计算很繁 !
lim
x
n
0
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说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x ,
e
x
( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如,
用洛必达法则
例3. lim 而 例4. lim
ln x x
x
n
x 0

x
解: lim x x lim e x ln x
x 0

x 0

利用 例5
e 1
例5 目录 上页 下页 返回 结束
0
例8. 求 lim
tan x x x sin x
2
x 0
.
0 0
型
解: 注意到
原式 lim
x 0
～
tan x x x
3
2
lim
sec x 1 3x
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备用题 求下列极限 :
1) lim [ x ln(1 ) x]; x x
2
2
1
2) lim
2
1 x
100

1 x
2
x 0
e
;
3) lim
ln(1 x x ) ln(1 x x ) sec x cos x
2
x 0
.
解: 1)
lim [ x ln(1 ) x] (令 t ) x x x 1 1 ln(1 t ) t lim ln(1 t ) lim 2 2 t 0 t t t 0 t
50 t e
t
49
t
(继续用洛必达法则)
50 ! e
t
lim
t
0
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3)
x 0
lim
ln(1 x x ) ln(1 x x ) sec x cos x ln[(1 x ) x ] sec x cos x ln (1 x x ) sec x cos x
第二节 洛必达法则
一、 型未定式
0 0
第三章
二、 型未定式
三、其他未定式
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函数的性态 微分中值定理 导数的性态 本节研究: 函数之商的极限
转化
(
或
型)
洛必达法则
导数之商的极限
洛必达 目录
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一、 型未定式
0
0
定理 1.

2) f ( x) 与F ( x) 在 (a )内可导,
f ( ) F ( )
3)
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洛必达法则
推论1. 定理 1 中 x a 换为
xa ,
f ( x ) F ( x )

x ,
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. 推论 2. 若 lim
理1条件, 则
定理1 目录
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3) lim f ( x ) F ( x)
f ( x) F ( x)
x a
存在 (或为
lim f ( x)
)
x a
lim
x a F ( x )
(洛必达法则)
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定理条件:

2) f ( x) 与F ( x) 在 (a )内可导, f ( x ) 3) lim 存在 (或为 ) x a F ( x )
x 0

解: 原式 lim
x 0
ln x x
n

lim
x 0

nx
lim (
x 0

x
n
n
) 0
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0
0
取倒数 转化
0
0

通分 转化
0
取对数 转化
1
0

例6. 求 lim (sec x tan x) .
x
2
型
2
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
x 0
x sin x
x
3
lim
1 cos x 3x
1 2
x 0
2
1 cos x ～ 1 x 2
2
lim
x
2
x0 3 x
2

1 6
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4. 求 解: 令 t
1 x ,则
1 2t 2 1 t 1 t
n
x
0
0
(n 0) .
(n 0 , 0) .
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