河北省张家口市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合220A x x x ，2,1,0,1,2B ，则A B ( ) A.2,1,0B.1,0,1C.0,1D.0,1,22.若复数z 满足121z i i，其中i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，则z( )A.3iB.3iC.3iD.3i3.如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为m 粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n 粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( )A.n mB.2n mC.m nD.2m n4. 按照程序框图(如右图)执行，第4个输出的数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6D ．75.设0,90°°，若3sin 7525°，则sin 15sin 75°°( ) A.110B.2C.110D.2 6．在三棱柱111ABC A B C -中，若AB a =，AC b =，1AA c =，则1(C B = )A ．a b c +-B ．a b c --C ．a b c -+-D ．a b c --+7.已知三棱锥A BCD 中，ABD △与BCD △是边长为2的等边三角形且二面角A BD C 为直二面角，则三棱锥A BCD 的外接球的表面积为( ) A.103B.5C.6D.2038.执行如图所示的程序框图(其中mod10b c 表示b 等于c 除以10的余数)，则输出的b 为( )A.2B.4C.6D.89.某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.43B.32C.53D.11610.已知双曲线224x y ，1F 是左焦点，1P ，2P 是右支上两个动点，则111212FP F P PP 的最小值是( ) A.4B.6C.8D.1611.已知0x >，0y >，且3622x y +=.若247x y m m +>-恒成立，则m 的取值范围为（ ）A ．(3,4)B ．(4,3)- C.(,3)(4,)-∞+∞ D ．(,4)(3,)-∞--+∞ 12.已知0a 且1a ，若当1x 时，不等式xa ax 恒成立，则a 的最小值是( )A.eB.1eeC.2D.ln2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.正三角形ABC 的边长为1，G 是其重心，则AB AG.14.14.命题“当0c >时，若a b >，则ac bc >.”的逆命题是 ． 15.已知椭圆222210x y a b ab ，1F 和2F 是椭圆的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于11,A x y ，22,B x y 两点，若2ABF △的内切圆半径为1，122F F ，123y y ，则椭圆离心率为.16.如图，在三棱锥P ABC -，ABC ∆为等边三角形，PAC ∆为等腰直角三角形，4PA PC ==，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列n a 是等差数列，21a t t ，24a ，23a t t .(1)求数列n a 的通项公式；(2)若数列n a 为递增数列，数列n b 满足2log nn b a ，求数列1n n a b 的前n 项和n S .18.为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望.19.（12分）已知函数()()32,f x x ax bx a b R =++∈的图象过点P （1,2），且在13x =处取得极值（1）求,a b的值；（2）求函数()f x的单调区间；（3）求函数()f x在[]1,1-上的最值20.已知点2,1M在抛物线2:C y ax上，,A B是抛物线上异于M的两点，以AB为直径的圆过点M.(1)证明：直线AB过定点；(2)过点M作直线AB的垂线，求垂足N的轨迹方程.21.（本大题满分12分）如图，在五面体ABCDPN中，棱PA⊥底面ABCD，2AB AP PN==.底面ABCD是菱形，23 BADπ∠=.（Ⅰ）求证：PN AB∥；（Ⅱ）求二面角B DN C--的余弦值.22.（本大题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点(2,3)A,且离心率12e=（I）求椭圆C的标准方程（II ）是否存在过点(0,4)B -的直线l 交椭圆与不同的两点,M N ,且满足167OM ON ⋅=(其中O 为坐标原点)。

若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由。

23.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱2PA PD ==，底面ABCD 为直角梯形，其中BC AD ∥，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，O 为AD 中点．（1）求证：PO ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点A 到平面PCD 的距离．高二数学(理科)参考答案1-5:CABDB 6-10:BDDAC 11、12：CA13.12 14.当0c >时，若ac bc >，则a b > 15.2316.17.解：(1)由题意得22228t t t t t ，所以2t ， 2t时，12a ，公差2d，所以2n a n ，2t时，16a ，公差2d，所以82na n .(2)若数列n a 为递增数列，则2n a n ，所以2log 2n b n ，4n n b ，1214n n na b n ，所以 231143454234214nn n S n n …，23414143454234214n n nS n n …，所以23134242424214nn nS n (21)1414422143nn n1206543n n ，所以1654209n nn S .18.解：由图可知，参加送考次数为1次，2次，3次的司机人数分别为20，100，80. (1)该出租车公司司机参加送考的人均次数为：12021003802.3200.(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一个参加2次送考”为事件A ，“这两人中一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件B ，“这两人中一人参加1次，另一人参加3次送考”为事件C ，“这两人参加次数相同”为事件D . 则11112010010080222002001001199C C C C P XP AP BC C ，1120802200162199C C P X P CC ， 22220100802200830199C C C P X P DC . X 的分布列：X 的数学期望831001613212199199199199EX.19. （12分）【解析】（1）∵函数()()32,f x x ax bx a b R =++∈的图象过点P （1,2），(1)2,1f a b ∴=∴+= （1分）所以，函数()f x 在[]1,1-上的最小值为1427-，最大值为6 （12分）20.解：(1)点M 在抛物线2:C yax 上，代入得14a，所以抛物线C 的方程为24x y ，由题意知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m ，设11,A x y ，22,B x y ，联立得224440x y x kx m ykx m，得124x x k ，124x x m ，由于MA MB ，所以0MA MB ，即121222110x x y y ，即12121212250x x x x y y y y .(*)又因为12122y y k x x m ，22121212y y k x x km x x m ，代入(*)式得224865k k m m ，即22223k m ，所以223k m 或223k m ，即25m k 或21m k .当25m k 时，直线AB 方程为25y k x ，恒过定点2,5，经验证，此时0，符合题意； 当21mk 时，直线AB 方程为21y k x ，恒过定点2,1，不合题意，所以直线AB 恒过定点2,5.(2)由(1)，设直线AB 恒过定点2,5R ，则点N 的轨迹是以MR 为直径的圆且去掉2,1，方程为22381x y y .21.解：（Ⅰ）在菱形ABCD 中，AB CD ∥，∵CD CDPN ⊂面，AB CDPN ⊄面，∴AB CDPN ∥面.又AB ABPN ⊂面，面ABPN CDPN PN =面，∴AB PN ∥.（Ⅱ）作CD 的中点M ，则由题意知AM AB ⊥，∵PA ABCD ⊥面，∴PA AB PA AM ⊥⊥，.如图，以A 点为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则(2,0,0)B ，3,0)C ，(3,0)D -，(0,0,2)N ， ∴(3,0)BD =-，(1,3,2)DN =，(2,0,0)CD =-. 设平面BDN 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则由10n BD ⋅=，10n DN ⋅=，得11111330320x y x z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩， 令11x =，则13y 11z =，即1(1,3,1)n =，同理，设平面DNC 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，由20n BD ⋅=，20n DN ⋅=，得222232020x z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 令21z =，则232y =，20x =，即23(0,,1)2n =，∴12121235cos ,n n n n n n ⋅<>=，即二面角B DN C --的余弦值为35.22.（1）∵椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()2,3A ,且离心率12e = 2222249112a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪∴=⎨⎪⎪=+⎪⎩ 解得2216,12a b ==,∴椭圆的方程为2211612x y +=（2）假设存在过点()0,4B -的直线l 交椭圆于不同的两点,M N ,且满足167OM ON ⋅=若直线l 的斜率不存在,且直线过点()0,4B -,则直线l 即为y 轴所在直线∴直线l 与椭圆的两不同交点,M N 就是椭圆短轴的端点,((,0,M N ∴-(160,127OM ON ∴⋅=-=-≠∴直线l 的斜率必存在,不妨设为k,∴可设直线l 的方程为4y kx +=,即4y kx =-联立32116124x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,消y 得()223432160k x kx +-+=,∵直线与椭圆相交于不同的两点,M N()()2232416340k k∴∆=--⨯⨯+>得:12k <-或12k >①设()()1122,,,M x y N x y ,1212223216,3434k x x x x k k ∴+==++()()()2212121212248484441634k y y kx kx k x x k x x k -∴=--=-++=+ 又167OM ON ⋅=,2212122221648486448163434347k k OM ON x x y y k k k --∴⋅=+=+==+++化简得21k =,1k ∴=或1k =-,经检验均满足①式∴直线l 的方程为: 4y x =-或4y x =--∴存在直线:40l x y --=或40x y ++=满足题意23.解：（1）在PAD △中PA PD =，O 为AD 中点，所以PO AD ⊥．又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD ＝，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD ． （4分）（2）连结BO ，在直角梯形ABCD 中，BC AD ∥, 22AD AB BC ==，有OD BC ∥且OD BC =，所以四边形OBCD 是平行四边形，所以OB DC ∥．由（1）知PO OB ⊥，PBO ∠为锐角，所以PBO ∠是异面直线PB 与CD 所成的角．因为222AD AB BC ===，在Rt AOB △中， 1AB =，1AO =，所以OB =，在Rt POA △中，因为AP =1AO =，所以1OP =，在Rt PBO △中，PB ==cos OB PBO PB ∠===所以异面直线PB 与CD （8分）（3）由（2）得CD OB ==Rt POC △中，PC =所以PC CD DP ==，2PCD S ∆==1·12ACD S AD AB ==△ 设点A 到平面PCD 的距离h ，由P ACD A PCD V V --=得1133ACD PCD S OP S h ⋅=⋅△△，即111133h ⨯⨯=，解得h =． （12分）。