将已知应力分量 ， ， 代入上式，可知满足相容方程。
按应力求解平面应变问题的相容方程：
将已知应力分量 ， ， 代入上式，可知满足相容方程。
4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
（3） ， ， ；
其中，A，B，C，D为常数。
弹性力学与有限元分析试题及参考答案
四、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
其中，A，B，C，D，E，F为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程 ；（2）在区域内的相容方程 ；（3）在边界上的应力边界条件 ；（4）对于多连体的位移单值条件。
6、证明应力函数 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， ）。
解：将应力函数 代入相容方程
可知，所给应力函数 能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
， ，
对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边， ， ， ， ， ；
解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：
（1）相容。
（2） （1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。
（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则 ， ， （1分）。
5、证明应力函数 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， ）。
（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量 ， ， ，体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。
简写为
将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得
简写为
9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为 ，试用纯三次的应力函数求解。
下边， ， ， ， ， ；
左边， ， ， ， ， ；
右边， ， ， ， ， 。
可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数 能解决矩形板受均布剪力的问题。
7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为 ，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。
解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设 。由此可知
而 自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求 在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
，
将 的表达式代入，则有
由此可得
， ， ， ，
应力分量为
, ,
虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。
8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为 ， ，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为， ， ， ，试导出相应的相容方程。
解：将所给应力分量代入平衡微分方程
得
即
由x，y的任意性，得
由此解得， ， ，
3、已知应力分量 ， ， ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
解：将已知应力分量 ， ， ，代入平衡微分方程
可知，已知应力分量 ， ， 一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。
按应力求解平面应力问题的相容方程：
将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式
将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得
2.3直角三角形固定在刚性基础上，受齐顶的水压力和自重作用，如图2.14所示。若按一个单元计算，水的容重 ，三角形平面构件容重 ,取泊松比 =1/6，试求顶点位移和固定面上的反力。
解：按逆时针编码，局部编码与整体编码相同：1-2-3
解：将应力函数 代入相容方程
可知，所给应力函数 能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
， ，
对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边， ， ， ， ， ；
下边， ， ， ， ， ；
左边， ， ， ， ， ；
右边， ， ， ， ， 。
可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数 能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。
根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x，y），使得
，
同样，将第二个方程改写为
（1分）
可见也一定存在某一函数B（x，y），使得
，
由此得
因而又一定存在某一函数 ，使得
，
代入以上各式，得应力分量
， ，
为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数 必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得
证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量 ， ， 应当满足平衡微分方程
（1分）
还应满足相容方程
（对于平面应力问题）
（对于平面应变问题）
并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。
首先考察平衡微分方程。将其改写为
这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为
，
这两个方程要求
，
代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得
对应应力分量为
以上常数可以根据边界条件确定。
左边， ， ， ，沿y方向无面力，所以有
右边， ， ， ，沿y方向的面力为q，所以有
上边， ， ， ，没有水平面力，这就要求 在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
将 的表达式代入，并考虑到C=0，则有
建立坐标
（1）求形函数矩阵：
图（2.14）
形函数:
所以：
形函数的矩阵为：
（2）刚度矩阵
可得：
（3）位移列向量和右端项
由边界条件可确定：
水压力和构件厚分别：
自重为W与支座反力：
所以：
由 得到下列矩阵方程组：
化简得：
可得：
将 代入下式：
固定面上的反力：
从而可得支座反力为：
这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即