2008年考研数学一真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)设函数,则的零点个数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】B。
【解析】且，则是唯一的零点综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数(2)函数在点处的梯度等于(A)(B)(C)(D)【答案】A。
【解析】所以综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度(3)在下列微分方程中，以为通解的是(A)(B)(C)(D)【答案】D。
【解析】由通解表达式可知其特征根为可见其对应特征方程为故对应微分方程为综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程(4)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是(A)若收敛，则收敛(B)若单调，则收敛(C)若收敛，则收敛(D)若单调，则收敛【答案】B。
【解析】【方法一】由于单调，单调有界，则数列单调有界，根据单调有界准则知数列收敛。
【方法二】排除法：若取,,则显然单调，收敛，但，显然不收敛，排除A。
若取,显然收敛且单调，但不收敛，排除C和D。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则(5)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，若,则(A)不可逆，不可逆(B)不可逆，可逆(C)可逆，可逆(D)可逆，不可逆【答案】C。
【解析】因为所以可知可逆，可逆综上所述，本题正确答案是C。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件(6)设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，则的正特征值的个数为(A)(B)1(C)2 (D)3【答案】B。
【解析】所给图形为双叶双曲线，标准方程为二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是的特征值，可知的正特征值的个数为1综上所述，本题正确答案是B。
【考点】线性代数—二次型—次型的标准形和规范形(7)设随机变量独立同分布，且的分布函数为,则的分布函数为(A)(B)(C)(D)【答案】A。
【解析】综上所述，本题正确答案是A。
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—随机变量的独立性和不相关性，两个及两个以上随机变量简单函数的分布(8)设随机变量,且相关系数,则(A)(B)(C)(D)【答案】D。
【解析】由相关系数的性质可知：如果则必有可得已知,所以,得又而所以即综上所述，本题正确答案是D。
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。
）(9)微分方程满足条件的解是。
【答案】。
【解析】分离变量得,l两边积分有利用条件，，解得综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—常微分方程—变量可分离的微分方程(10)曲线在点处的切线方程是。
【答案】【解析】先求曲线在点处的斜率等式两端对求导得在上式中，将代入可得所以曲线在该点处的切线方程为即综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数的几何意义和物理意义(11)已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为。
【答案】。
【解析】由题设可知，幂级数在处收敛，在处发散,即时，幂级数收敛。
对于幂级数，则收敛区间为又幂级数在处收敛，在处发散，所以对于幂级数收敛域为。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域(12)设曲面是的上侧，则。
【答案】。
【解析】补曲面,取下侧，记则综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用，两类曲面积分的概念、性质及计算(13)设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，，则的非零特征值为。
【答案】1。
【解析】【方法一】定义法：由可得矩阵的特征值为，因此的非零特征值为。
【方法二】矩阵相似：可知，的特征值易得为，所以可得矩阵的特征值为，因此的非零特征值为。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】线性代数—矩阵的特征值和特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，相似变换、相似矩阵的概念及性质(14)设随机变量服从参数为1的泊松分布，则。
【答案】【解析】由已知，有,所以所以综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—一维随机变量及函数的数字特征三、解答题：小题，共94分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(15)（本题满分9分）求极限【解析】【方法一】（等价无穷小代换）（洛必达法则）（）(等价无穷小代换)【方法二】（等价无穷小代换）（变量代换）（洛必达法则）（等价无穷小代换）【方法三】由泰勒公式,可得则，上式【方法四】（拉格朗日中值定理）【方法五】由于当时,,则所以【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—微分中值定理，洛必达(L'Hospital)法则(16)（本题满分9分）计算曲线积分,其中是曲线上从点到点的一段。
【解析】【方法一】【方法二】添加轴上从点到点的直线段，为与围成的封闭区域，则【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用，两类曲线积分的概念、性质及计算，格林(Green)公式(17)（本题满分11分）已知曲线求曲线距面最远和最近的点。
【解析】设为曲线上任意一点，则点到面的距离为，即原题化为求在条件下的最值点，构造拉格朗日函数解方程组得，从而得可能极值点：有根据几何意义，曲线上存在距面最远和最近的点，故所求点依次为。
【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的极值和条件极值(18)（本题满分10分）设函数连续，(I)利用定义证明函数可导，且；(II)当是以2为周期的周期函数时，证明函数也是以2为周期的周期函数。
【解析】(I)对于任意的,由于函数连续，所以（积分中值定理）其中介于和之间。
又,可知可导，且(II)【方法一】对于任意的，有所以，从而有（常数）又则，，即也是以2为周期的周期函数。
【方法二】对于任意的，有则故也是以2为周期的周期函数。
【方法三】对于任意的，有由于以2为周期，则所以故也是以2为周期的周期函数。
【方法四】对于任意的，有则故也是以2为周期的周期函数。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数(19)（本题满分11分）将函数展开成余弦级数，并求的和。
【解析】因为是偶函数，于是,对有所以令,故【考点】高等数学—无穷级数—函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数，函数在上的正弦级数和余弦级数(20)（本题满分10分）设为3维列向量，矩阵,其中分别是的转置。
证明：(I)秩；(II)若线性相关，则秩。
【解析】(I)因为为3维列向量，所以都是3阶矩阵，且秩那么(II)线性相关，则设于是，【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩(21)（本题满分12分）设元线性方程组，其中(I)证明行列式；(II)当为何值时，该方程组有唯一解，并求；(III)当为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。
【解析】(I)数学归纳法：记阶行列式的值为当时,命题正确；当时，,命题正确设时，命题正确当时，按第一列展开，则有命题正确，所以。
(II)由克拉默法则，方程组有唯一解，故时方程组有唯一解，且用克拉默法则，有(III)当时，方程组为由,方程组有无穷多解，其通解为,其中为任意常数。
(22)（本题满分11分）设二维随机变量相互独立，的概率密度为，的概率为记。
(Ⅰ)求；(Ⅱ)求概率密度。
【解析】(Ⅰ)(Ⅱ)所以【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维随机变量函数的分布(23)（本题满分11分）设为来自的简单随机样本，记（Ⅰ）证明是的无偏估计量；（Ⅱ）当时，求。
【解析】(Ⅰ)因为所以是的无偏估计量。
（Ⅱ）当时，，，，从而，D[所以【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念—统计量的数字特征。