第四章 连续信号的频域分析将信号分解为若干不同频率的正弦信号或虚指数信号，实质上是将信号在频率域上进行分解，因此根据这种基本思想对信号和系统的分析称为频域分析。

这种分解过程是通过傅里叶级数和傅里叶变换这一数学工具来实现的。

本章首先介绍连续信号的傅里叶级数和傅里叶变换，熟悉信号频谱的概念。

4.1 基本要求1．基本要求♦ 了解傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其物理含义； ♦ 掌握信号频谱和频谱密度的概念； ♦ 了解连续谱和离散谱的特点和区别； ♦ 掌握傅里叶变换的常用性质；♦ 掌握周期信号傅里叶变换的求解方法。

2．重点和难点♦ 傅里叶变换的性质及其应用4.2 知识要点1．周期信号的傅里叶级数 （1）傅里叶级数展开式三角形式：∑∑∞=∞=+Ω+=Ω+Ω+=1010)cos(2)]sin()cos([2)(n n n n n n t n A A t n b t n a a t f ϕ（4-1）指数形式： ∑∑∞-∞=+Ω∞-∞=Ω==n t n nn tn nn FF t f )j(j e e)(ϕ （4-2）其中⎰+Ω=Tt t n t t n t f Ta 00d cos )(2，n =0，1，2，? （4-3） ⎰+Ω=Tt t n t t n t f Tb 00d sin )(2，n =1，2，? （4-4）且nn n n n n a b b a A a A arctg, ,2200-=+==ϕ （4-5）⎰+Ω-=Tt t t n n t t f T F 00d e )(1j （4-6） （2）两种形式之间的转换关系0)( e 21j ≥=n A F n n n ϕ （4-7）并且|F n |为偶函数，?n 为奇函数，即||||n n F F -=，||||n n -=ϕϕ （4-8） （3）傅里叶级数的物理含义通过傅里叶级数可以将任意周期信号f (t )分解为若干个正弦信号（三角形式）或复简谐信号（指数形式）的叠加。

每个正弦信号分量的频率为周期信号基波频率的n 倍（n ?0），即n ?，而幅度为A n 或者2|F n |，相位为?n ，将其称作第n 次谐波分量。

特别地，将频率为0（即n =0）的分量称为直流分量，幅度为A 0/2或者F 0；频率等于基波频率?（即n =1）的分量称为基波分量。

2．周期信号的频谱通过傅里叶级数可以将时域中的周期信号分解为直流分量、基波分量和各次谐波分量之和，傅里叶级数展开式中的A n 、?n 或傅里叶系数F n 分别代表了各分量的幅度和相位随谐波次数n （从而频率n ?）的变化关系，称为周期信号的频谱，其中A n 或|F n |称为幅度谱，?n 称为相位谱。

A n 或|F n |、?n 都是关于整型变量n 的实函数，分别以其为纵轴，以n （或者n ?）为横轴，得到的图形称为周期信号的幅度谱图和相位谱图，合称为周期信号的频谱图。

但是，在三角形式的傅里叶级数中，A n 和?n 的自变量n 只能取非负的整数，因此称为单边频谱，而在F n 中，n 可以为任意的整数，相应地将F n 称为双边频谱。

对同一个周期信号，其单边和双边频谱可以通过式（4-7）进行相互转换。

所有周期信号的频谱都具有离散性，因此称为离散谱。

3．非周期信号的傅里叶变换及其频谱密度非周期信号的傅里叶变换及傅里叶反变换的定义为⎰∞∞--=t t f F t d e )()j (j ωω （4-9）⎰∞∞-=ωωωd )e (j 2π1)(j t F t f （4-10） 其中正变换用于根据信号的时域表达式求其频谱表达式，反变换用于根据其频谱表达式求时域表达式。

通过傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的复简谐信号的叠加，而信号的傅里叶变换F (j ?)反映了信号中各分量的幅度和相位随其频率? 的变化关系，称为信号的频谱密度，又称为频谱密度函数或频谱函数。

教材表4-1中列出了一些基本信号的傅里叶变换，在求解复杂信号的傅里叶变换和频谱密度时经常用到。

4．傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质不仅可以用于简化复杂信号频谱密度的求解，也可以用于求解不满足绝对可积条件的信号（例如周期信号）的傅里叶变换。

此外，大多数性质都具有明确的物理含义。

教材表4-2列出了傅里叶变换的常用性质，通过练习熟悉各性质的应用。

5．周期信号的傅里叶变换所有周期信号的能量都为无穷大，因此都不满足绝对可积条件，必须根据性质求其傅里叶变换。

根据性质得到周期信号傅里叶变换的求解公式为∑∞-∞=Ω-=n n n F F )(π2)j (ωδω （4-11）4.3 补充例题例4-1 已知某周期信号f (t )的周期为T =0.1s ，三角形式的傅里叶级数展开式为 写出指数形式的傅里叶级数表达式。

解 将已知的f (t )整理为标准形式得到由于T =0.1s ，则周期信号f (t )的基波角频率为2π/20πT Ω==。

将上式与式（4-1）比较可知 再由式（4-7）得到 由式（4-8）得到再代入式（4-2）得到指数形式的傅里叶级数为另解 利用欧拉公式直接转换。

例4-2 已知某周期信号f (t )的基波频率为10Hz ，其指数形式的傅里叶级数展开式为 写出三角形式的傅里叶级数表达式。

解 将已知f (t )整理为标准形式得到 已知f (t )的基波角频率为?=2??10=20?，则上式中各项分别对应指数形式的傅里叶级数中n =0，-1，-3，1，3，由此得到 根据由式（4-7）得到代入三角形式的傅里叶级数展开式得到另解 将上式重新整理为 再利用欧拉公式得到说明：以上两例练习两种形式的傅里叶级数及其相互转换。

可以根据本章所给各公式进行转换，也可根据欧拉公式直接转换。

欧拉公式是本章反复用到的基本数学公式，这里再总结如下：例4-3 对例4-1和例4-2所示周期信号，假设其周期都为T =0.1s 。

分析其中含有的分量以及每个分量的幅度和相位。

解 （1）已知的是三角形式的傅里叶级数展开式，但不是标准形式（有一项为正弦函数，必须化为余弦函数），重新整理得到 由此可知，f (t )中共有三个分量，即直流分量，幅度为10；基波分量：频率为10Hz ，幅度为8，相位为-?/3； 二次谐波分量：频率为20Hz ，幅度为2，相位为-?/2。

（2）已知的是指数形式的傅里叶级数展开式，重新整理为标准形式得到 再将其与式（4-2）比较可得由此可知，f (t )中共有三个分量，即直流分量，幅度为2；基波分量：频率为10Hz ，幅度为2|F 1|=10，相位为?1=?F 1=-?/2； 三次谐波分量：频率为30Hz ，幅度为2|F 3|=3，相位为?3=?F 3=-?/4。

说明：通过本例熟悉傅里叶级数的物理含义，并据此引出信号频谱的概念。

由已知的傅里叶级数展开式可以直接分析出原周期信号中含有哪些分量以及各分量的频率、幅度和相位。

但是注意，必须首先将其转换为式（4-1）或（4-2）所示的标准形式，然后通过比较确定出A n 、F n 和?n ，再进一步分析各分量的幅度和相位。

例4-4 已知周期信号分别求出其单边和双边频谱，并画出频谱图。

解 由已知的表达式可知，周期信号f (t )的基波角频率为?=1 rad/s ，周期T =2?/?=2?。

（1）求单边频谱。

将已知的表达式化为标准的三角形式的傅里叶级数展开式得到 则单边频谱为由此画出单边幅度谱和相位谱如图4-1所示。

（2）求双边频谱。

根据上述单边频谱，由式（4-7）得到再根据双边频谱的对称性得到从而求得由此画出双边幅度谱和相位谱如图4-2所示。

-1012345678-1012345678510120123456780510-10123456780510-112345678-2-1120 1 2 3 n1 2 3n 图4-1说明：根据三角形式的傅里叶级数得到的A n 、?n 称为周期信号的单边频谱，根据指数形式的到的F n 称为周期信号的双边频谱，其波形称为信号的频谱图。

双边频谱和单边频谱都是以n 为变量的函数。

由于n 只能取整数，代表周期信号中的第n 次谐波，所以频谱图都由离散的点构成。

在单边频谱中，n 只能取非负整数，而在双边频谱中，n 的取值有正有负。

注意到在双边频谱中，|F n |为偶函数，?n 为奇函数，所以一般取?0=0。

此外，根据式（4-7），可以在单边频谱和双边频谱之间相互转换。

例4-5 已知周期信号f (t )如图4-3所示，求其频谱。

解 由图可知，f (t )的周期为T =0.4s ，则?=2?/T =5?。

取t 0=-0.2=T /2。

（1）根据三角形式的傅里叶级数展开式求单边频谱。

则 则（2）根据指数形式的傅里叶级数展开式求双边频谱。

说明：通过本例掌握求周期信号频谱的方法。

要求频谱，也就是求其傅里叶级数展开式各项的系数。

求单边频谱时，先根据式（4-3）、（4-4）求出a n 、b n ，再由式（4-5）求A n 和?n 。

求双边频谱时，只需直接根据式（4-6）求出F n 。

此外，注意在求解过程中，不需将T 和?代入计算。

在根据定义式得到积分结果后，一般会出现T ?项，此时只需将T ?=2?代入，即可将这两个参数一起消去。

例4-6 证明如下结论： （1） 周期偶对称信号中只含有直流分量和余弦分量；f (t ) 2图4-3-0.1 -101234567800.5-1012345678-101234567800.5-10123456780510-112345678-3 -2 -10 1 2 3 n|F n |?n图4-2421 1112?/4?/3?/2-?/2 -?/3 -?/4（2） 周期奇对称信号中只含有正弦分量。

证明 （1）令t 0=-T /2，则根据式（4-3）和（4-4）得到 （1）因为f (t )为偶对称信号，则f (-t )=f (t )，则 因此其中只有直流分量和余弦分量。

（2）因为f (t )为奇对称信号，则f (-t )=-f (t )，则 因此其中只有正弦分量。

说明：根据傅里叶级数的计算式可以证明，波形上具有不同特点的周期信号，其中包含的分量也有所不同。

除了本例中证明了的两种特性外，更多的波形特点及其含有的分量组合如表4-1所示。

其中的结论请读者模仿此例进行推导和证明。

表4-1 周期信号的对称性与其所含的分量例4-7 已知双边指数信号||2e )(t t f -=，求其傅里叶变换。

解 因为因此满足绝对可积条件，则由定义求得说明：根据定义求信号的傅里叶变换时，必须首先计算判断信号是否绝对可积条件。

如果不满足，不能用定义求，只能用性质或其他方法求。

所有的能量信号都一定满足绝对可积条件，而典型的时限信号、幅度随时间逐渐衰减的信号等都是能量信号，所以都可以利用定义直接求解其傅里叶变换。