A C
D
C
如图，是西安半坡博物馆屋顶的截面图， 如图，是西安半坡博物馆屋顶的截面图，已经知道它 的两边AB AC是相等的 AB和 是相等的. 的两边AB和AC是相等的.建筑工人师傅对这个建筑物 做出了两个判断: 做出了两个判断: 工人师傅在测量了∠ 37°以后，并没有测量∠ ①工人师傅在测量了∠B为37°以后，并没有测量∠C ， 就说∠ 的度数也是37 37° 就说∠C 的度数也是37°. 工人师傅要加固屋顶，他们通过测量找到了横梁BC ②工人师傅要加固屋顶，他们通过测量找到了横梁BC 的中点D 然后在AD两点之间钉上一根木桩， AD两点之间钉上一根木桩 的中点D，然后在AD两点之间钉上一根木桩，他们认 为木桩是垂直横梁的. 为木桩是垂直横梁的.
A
1 2 1 2 B C D
思考：
(1)等腰三角形的对称轴怎样回答？ 等腰三角形的对称轴怎样回答？ 等腰三角形的对称轴怎样回答 等腰三角形是轴对称图形.对称轴是底边上 等腰三角形是轴对称图形 对称轴是底边上 的中线(顶角平分线 底边上的高)所在直线 顶角平分线,底边上的高 的中线 顶角平分线 底边上的高 所在直线 (2)等腰三角形底角的平分线与它所对边上的 等腰三角形底角的平分线与它所对边上的 中线和高线重合么？ 中线和高线重合么？
下课了!
等腰三角形的有关概念
A
顶 角
腰
腰
B
C
返回
A 的中线AD 证明: 作△ABC 的中线
则有 BD＝ CD ＝ 在△ABD和△ACD中 和 AB＝ AB＝AC C B D BD＝CD ＝ AD＝AD （公共边） ＝ 公共边） ∴ △ABD≌ △ACD （SSS） ≌ ） ∴ ∠B＝∠C 全等三角形对应角相等） ＝ （全等三角形对应角相等）
A 的高线AD 证明: 作△ABC 的高线
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 、如图， 中 ， 在 上 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。 各角的度数。 ， 各角的度数
A
解：∵AB=AC，BD=BC=AD， AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠ ∠ ∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD ABC= ， ∠ 等边对等角) （等边对等角 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 则 从而∠ 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
等 腰 三 角 形 的 性 质
心灵手巧
如图：把一张长方形纸片按图中的虚线对折 如图：把一张长方形纸片按图中的虚线对折, 并剪去红线下方的部分,再把它展 并剪去红线下方的部分 再把它展 开,得△ABC 得
B
A C
D
观察
AC和AB有什么关系 这个三角形有什么特点 和 有什么关系 这个三角形有什么特点? 有什么关系?这个三角形有什么特点
C
2x B
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ x D 2x
于是在△ 于是在△ABC中，有 中 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， ∠ ∠ ° 解得x=36°， ° 解得
在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72° 中 ° ∠ °
4 ：△ ABC是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 （AB=AC， ∠ BAC=90°）， 是底 ， °），AD是底 上的高， 边BC上的高，标出∠ B， ∠ C， 上的高 标出∠ ， ， 的度数？ ∠ BAD， ∠ DAC的度数？ ， 的度数 B 答： ∠ B= ∠ C= ∠ BAD= ∠ DAC=45° ° 5：在△ ABC中，AB=AD=DC， ： 中 ， ∠BAD=16°，求∠ B和∠ C的度数 ° 和 的度数 答：∠ B= 82° ，∠ C =41° ° ° B A D
∠1=∠2=55 等式性质）。 ∴ ∠1=∠2=550（等式性质）。 ∵AB=AC（已知） （2）在△ABC ∵AB=AC（已知） AD是 ABC的中线 已知） 的中线（ 又∵AD是△ABC的中线（已知） AD⊥BC（等腰三角形底边上的中线垂直底边）。 ∴ AD⊥BC（等腰三角形底边上的中线垂直底边）。 ∵AB=AC（已知） （1）解：在△ABC ∵AB=AC（已知）
C
归纳结论
性质2:
等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上 等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上 顶角平分线 上的中线 的高互相重合 的高互相重合 (等腰三角形三线合一) 用符号语言表示为： 用符号语言表示为：
在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上 中 在 上 1、∵AD ⊥ BC 、 BD = CD 。 ∴∠ 1 = ∠ 2 ， 2、∵AD是中线， 是中线， 、 是中线 ∴ AD⊥ BC ，∠ 1 =∠ 2 。 ∠ 3、∵AD是角平分线， 是角平分线， 、 是角平分线 。 ∴ AD ⊥ BC ， BD= CD
则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90º ＝ 在Rt△ABD和Rt△ACD中 △ 和 △ AB＝ AB＝AC 公共边） （公共边）B AD＝AD ＝
D
C
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD （HL） △ ≌ △ ） ∴ ∠B＝∠C 全等三角形对应角相等） ＝ （全等三角形对应角相等）
归纳结论
性质1
等腰三角形的两个底角相等。 等腰三角形的两个底角相等。 (等边对等角) 用符号语言表示为： 用符号语言表示为：
C
一题多解 如图， 的边BC上 如图，点D、E在△ABC的边 上， 、 在 的边 且AB=AC，AD=AE，此时 与CE有 ， ，此时BD与 有 何关系？请说明理由。 何关系？请说明理由。
谈谈你的收获！ 谈谈你的收获！
轴对称图形
性质一：两个底角相等（等边对角） 等边对角） 性质一：
性质二：顶角平分线、底边上的中线、 性质二：顶角平分线、底边上的中线、 互相重合（ 和底边上的高互相重合（三线合 一）
ABC是等腰三角形 AC=AB, △ABC是等腰三角形
（1）什么是等腰三角形？
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
（2）等腰三角形的有关概念 （3）三角形中学过哪些重要线段?
三角形的中线、 三角形的中线、角平分线和高线 如图：中线 角平分线AE,高AF 如图：中线AD,角平分线 角平分线 高
B D C
大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外, 等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗? 你还能发现它的其他性质吗?
猜想与论证
猜想
等腰三角形的两个底角相等。 等腰三角形的两个底角相等。 已知：△ABC中，AB=AC
A
求证：∠B=∠C
分析： 如何证明两个角相等 如何证明两个角相等？ 分析：1.如何证明两个角相等？ 2.如何构造两个全等的 2.如何构造两个全等的 三角形？ 三角形？
A
在△ABC中， 中 ∵ AC=AB（已知） （已知） 等边对等角） ∴ ∠B=∠C （等边对等角） ∠
C
B
看谁算得快 如图，在下列等腰三角形中， 如图，在下列等腰三角形中，分别求 出它们的底角的度数。 出它们的底角的度数。 A A
36° ° 120° °
B B C
C
巩固练习(1)
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个 等腰三角形一个底角为75° 75 75°, __； 角为_____ 角为_____ 30° ； __ ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角 等腰三角形一个角为70° 70 70°,40°或55°,55° 为___________________； ___________________； ⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角 等腰三角形一个角为110° 110 35°,35° __。 为______ __。
等腰三角形是轴对称图形吗？ 等腰三角形是轴对称图形吗？
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 沿折痕对折， 把剪出的等腰三角形 沿折痕对折 找出其中重合的线段和角. 找出其中重合的线段和角
重合的线段
重合的角
A
AB＝AC ＝ BD＝CD ＝ AD＝AD ＝
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB ＝ ∠ADC
论证猜想
作顶角的平分线AD， 证明: 作顶角的平分线 ，
则有∠ ＝ 则有∠1＝ ∠2
A 12
在△ABD和△ACD中 和 AB＝ AB＝AC B D ∠1＝∠2 ＝ AD＝AD （公共边） ＝ 公共边） ∴ △ABD≌ △ACD （SAS） ≌ ） ° ∴ BD＝CD ∠ADB ＝∠ADC= 90° ＝
B D
C
A 作顶角的平分线AD， 证明: 作顶角的平分线 ，
则有∠ ＝ 则有∠1＝ ∠2
12
在△ABD和△ACD中 和 AB＝ AB＝AC C B D ∠1＝∠2 ＝ AD＝AD （公共边） ＝ 公共边） ∴ △ABD≌ △ACD （SAS） ≌ ） ∴ ∠B＝∠C 全等三角形对应角相等） ＝ （全等三角形对应角相等）
请同学们想想,工人师傅的说法对吗？请说明理由. 请同学们想想,工人师傅的说法对吗？请说明理由.A（学以致用）B
D
C
我思,我进步 我思 我进步1
如图，已知AB=AC， AD是 ABC的中 如图，已知AB=AC，∠BAC=1100，AD是△ABC的中 AB=AC 线。 A 的度数； （1）求∠1和∠2的度数； 1 2 AD⊥BC吗 为什么？ （2）AD⊥BC吗？为什么？ B D 又∵AD是△ABC的中线（已知） AD是 ABC的中线（已知） 的中线 1 ∠1=∠2= ∠BAC（等腰三角形底边上的中线平分顶角） ∴ ∠1=∠2= ∠BAC（等腰三角形底边上的中线平分顶角） 2 ∠BAC=110 已知） ∵ ∠BAC=1100（已知）
想一想: 想一想:
刚才的证明除了能得到∠ ＝ 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你 还能发现什么? 还能发现什么
重合的线段 AB＝AC ＝ BD＝CD ＝ AD＝AD ＝ 重合的角