E2(Zt)=∫zt ∞ P1(Z)dZ 因此，总的错误概率E(Z)为：
E(Zt)=(1-θ)E1(Zt)+ θ E2(Zt)
1、一般错误率分析：
二 类 问 题 ： 若 P (1 x) P ( 2 x), 则 x 1, 这 时 条 件 错 误 概 率 为 P ( 2 x).
若 P (1 x) P ( 2 x), 则 x 2 , 这 时 条 件 错 误 概 率 为 P (1 x).
该方法不适合直方图中双峰差别很大或双峰间的谷比 较宽广而平坦的图像，以及单峰直方图的情况。
70年代初，研究工作集中在直方图变换，但无论是直 方图还是直方图变换法都仅仅考虑了直方图灰度信息 而忽略了图像的空间信息
2.最佳阈值
• 所谓最佳阈值是指图像中目标物与背景的分割 错误最小的阈值
设一幅图像只由目标物和背景组成，已知其灰度级分布 概率密度分布为P1(Z)和P2(Z)，且已知目标物象素占全图 象素数比为θ，因此，该图像总的灰度级概率密度分布 P(Z)可用下式表示：
分割效果差
在图像特征中，点灰度是最基本的特征，但它 对噪声敏感，区域灰度特征包含了部分空间信 息，且对噪声的敏感程度低于点灰度特征
综合利用点灰度特征和 区域灰度特征，可以较 好的表征图像的信息
利用图像点灰度和 区域灰度均值得二 维最大熵阈值法
P(Z)= θP1(Z)+(1-θ)P2(Z) 假定阈值为Z，认为图像由亮背景上的暗物体所组成， 即灰度小于Z的为目标物，大于Z的为背景
P1(Z) 目标物
P2(Z) 背景
Zt 如图所示，如选定Zt为分割阈值，则将背景象素错 认为是目标物象素的概率为：
E1(Zt)=∫-∞ZtP2(Z)dZ 将目标物象素错认为是背景象素的概率为：
基于阈值的分割
• 图像阈值分割是一种广泛应用的分割技术，利用图 像中要提取的目标物与其背景在灰度特性上的差异， 把图像视为具有不同灰度级的两类区域(目标和背景) 的组合，选取一个合适的阈值，以确定图像中每个 象素点应该属于目标还是背景区域，从而产生相应 的二值图像
• 可以大量压缩数据，减少存储容量，而且 能大大简化其后的分析和处理步骤
• 熵是平均信息量的表征 • 原理
根据信息论，熵的定义为：
H=-∫-∞+ ∞p(x)lgp(x)dx 所谓灰度图像的一维熵最大，就是选择一个阈值，使图 像用这个阈值分割出的两部分的一阶灰度统计的信息量 最大。
设ni为数字图像中灰度级i的象素点数, N为总的像素个数， pi为灰度级i出现的概率，则
pi=ni/N, i=1,2…L pi
0 f(x,y)>t
另外，还可以将阈值设置为一个灰度范围[t1,t2]，凡是灰 度在范围内的象素都变为1，否则皆变为0，即
1 t1≤f(x,y)≤t2 g(x,y)=
0 其它
某种特殊情况下，高于阈值t的象素保持原灰度级，其它 象素都变为0，称为半阈值法，分割后的图像可表示为：
f(x,y) f(x,y)≥t g(x,y)=
P (1 )
P(x
R2
1 )d x P ( 2 )
P(x
R1
2 )dx
P(x,1) P(x,2 ) P ( x 1 ) P (1 ) P( x 2 )P(2 )
P ( 1 ) P1 ( e ) P ( 2 ) P2 ( e )
P (e ) m in
YT
P
(
2
)P
(
x
2 )d x
图像灰度直方图如图所示：
O区概率分布：
B O
pi/pt i =1,2…t
B区概率分布：
i t
pi/(1-pt) i =t+ 1,t+2…L 其中：pt=∑i=1tpi
对于数字图像，目标区域和背景区域的熵分别定义为：
H O (t) (pi/pt)lgpi(/pt) i1 ,2 ,t
i
H B(t) [pi/1 (pt)l]gpi[/1 (pt),i]t1 ,t2, ,L
i
熵函数定义为：
(t)HO
HB
lgpt
(1pt
)Ht pt
HL Ht 1pt
Ht pi lgpi, i1,2,t
i
HL pi lgpi, i1,2,L
i
当熵函数取最大值时对应的灰度值t*就是所 求的最佳阈值，即
t*Argma{x(t)} 0tL1
二维最大熵阈值分割基于Fra bibliotek一维最大熵
直方图
信噪比降低
灰度信息，没有 利用空间信息
P(e
x)
P ( 2 P (1
x),当 x),当
x x
1 2
这
时
错
误
率
最
小
。
平 均 错 误 概 率 ： P (e )
P(e x)p(x)dx
P (e, x )dx
P (e) P ( x R1, 2 ) P ( x R2 ,1) P ( x R2 | 1 ) P (1) P ( x R1 | 2 ) P ( 2 )
将上两式代入，且对两边求对数，得到：
简化为：AZt2+BZt+C=0 上式是Zt的一个二次方程式，有两个解，因此，要使分 割误差最小，需要设置两个阈值，即上式的两个解。如 果设σ2= σ12 = σ22，即方差相等，则上式方程存在唯一解， 即：
如果设θ=1- θ，即θ＝1/2时，
P
P1(Z)
E1(Zt)
直方图阈值分割
• 简单直方图分割法 • 最佳阈值
1.简单直方图分割法
图像的灰度级范围为0,1,…L-1，设灰度级i的象素数为ni， 则一幅图像的总象素N为
N=∑i=0L-1ni
灰度级i出现的概率定义为： pi=ni/N
灰度图像 的直方图
反映一幅图像上灰度分布的统计特性，成为利用象素灰 度作属性的分割方法的基础
最常用的模型：
假设图像由具有单峰灰度分布的目标和背景组成，处于目 标或背景内部相邻象素间的灰度值是高度相关的，但处于 目标和背景交界处两边的象素在灰度值上有很大的差别。
如果一幅图像满足这些条件，它的灰度直方图基本上可看 作是由分别对应目标和背景的两个单峰直方图混合构成的。
阈值选取方法
• 直方图阈值分割法 • 类间方差阈值分割法 • 二维最大熵值分割法 • 模糊阈值分割法
对物体与背景具有较强对比的景物的分割很有效，而且总 能用封闭连通的边界定义不交叠的区域
设原始图像f(x,y)，以一定的准则在f(x,y)中找出一个合适的灰 度值，作为阈值t，则分割后的图像g(x,y)，可由下式表示：
1 f(x,y)≥t
1 f(x,y)≤t
g(x,y)=
或 g(x,y)=
0 f(x,y)<t
0 其它 阈值分割图像的基本原理，可用下式表示：
ZE f(x,y)∈Z 阈值 g(x,y)=
ZB 其它
阈值的选取是阈值分割技术的关键，如果过高，则过 多的目标点被误归为背景；如果阈值过低，则会出现 相反的情况
由此可见，阈值化分割算法主要有两个步骤： 1、确定需要的分割阈值 2、将分割阈值与象素值比较以划分象素 在利用阈值方法来分割灰度图像时一般都对图像有一定的 假设。基于一定的图像模型的。
P2(Z) E2(Zt)
Zt
Z
从前面可以看出，假如图像的目标物和背景象素灰度级概率呈正态
分布，且偏差相等(σ12 = σ22)，背景和目标物象素总数也相等(θ＝ 1/2)，则这个图像的最佳分割阈值就是目标物和背景象素灰度级两
个均值的平均
最大熵阈值分割
• 一维最大熵阈值分割 • 二维最大熵阈值分割
1. 一维最大熵阈值分割
YT P ( 1 ) P ( x 1 )d x
R 1 YT
R2 X
Y T
可
根
据
条
件
求
得
：
P
(
1
)
P
(
x
1)
P ( 2 ) P ( x
2)
12
最佳阈值就是使E(Zt)为最小值时的Zt，将E(Zt)对Zt求导， 并令其等于0，解出其结果为：
θP1(Zt)=(1- θ)P2(Zt) 设P1(Zt)和P2(Zt)均为正态分布函数，其灰度均值分别为 μ1和μ2，对灰度均值的标准偏差分别为σ1和σ2，即
60年代中期，Prewitt提出了直方图双峰法，即如果灰度 级直方图呈明显的双峰状，则选取两峰之间的谷底所对 应的灰度级作为阈值。
P
暗 Z1 Zi Zt Zj Zk 亮
B1 背景
B2 目标
注意：应用灰度直方图双峰法来分割图像，也需要一定的 图像先验知识，因为同一个直方图可以对应若干个不同的 图像，直方图只表明图像中各个灰度级上有多少个象素， 并不描述这些象素的任何位置信息。